Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung und einer Elektronenwolke der
Ladung
. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander.
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Auf den positiven Kern wirkt die Kraft
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(2.109) |
Auf die negative Elektronenwolke wirkt
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(2.110) |
Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie
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(2.111) |
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(2.112) |
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(2.113) |
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(2.114) |
Das induzierte Dipolmoment ist
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(2.115) |
und damit
Dabei ist die atomare Polarisierbarkeit (Einheit
).
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Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld ist
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(2.117) |
da
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(2.118) |
und damit
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(2.119) |
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Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt
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(2.120) |
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Isolatoren in einem Kondensatoren
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Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist
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(2.121) |
unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.
Andererseits ist
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(2.122) |
abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können und
unabhängig bestimmt werden.
In vielen Fällen sind und
linear voneinander abhängig.
mit
und
heisst die Dielektrizitätskonstante,
die dielektrische Suszeptibilität.
Im Allgemeinen sind
und
Tensoren.
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Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem
durch
ersetzt wird.
Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.
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Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.
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Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.
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Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten
elektrischen Feld.
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Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.116) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.
Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt
(siehe Gleichung (2.19) ). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch
. Wir betrachten eine Oberfläche
, die ein Stück
der Grenzfläche umschliesst. Dann ist
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(2.124) |
Wir verwenden weiter eine Schlaufe , die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten
und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung
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(2.125) |
An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
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Mit
können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das
Potential
umgeschrieben werden
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(2.126) |
In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen
Dielektrizitätszahl und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms
oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit sowie vom lokalen elektrischen Feld
ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld
sowie dem Feld aller
anderen Dipole am Beobachtungsort,
.
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(2.127) |
Die Polarisation hängt vom lokalen Feld
wie folgt ab:
wobei die Dichte der induzierten Dipole ist.
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Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti
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Zur Berechnung von und damit
betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit
, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius
entfernt wurde.
In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],das von einem externen Feld
in der
-Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der
Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte
, analog wie eine Ladungsdichte
und ein elektrisches Feld mit
zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5) ) ist
der Beitrag von
gegeben durch
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(2.129) |
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(2.130) |
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(2.131) |
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(2.133) |
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(2.134) |
Die Rechnung verläuft folgendermassen
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Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum
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Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung tragen. Das Feld im Inneren des
Kondensators sei um den Faktor
geringer als das Feld
ohne Dielektrikum
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(2.135) |
Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand ist
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(2.136) |
Die Kapazität ist
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(2.137) |
Also ist beim Plattenkondensator
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(2.138) |
Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant
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(2.139) |
Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,
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(2.140) |
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Die Energiedichte im Kondensator ist
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(2.141) |
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Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.
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Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.
Wie geht das?
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Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung
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Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [Kän78].
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(2.145) |
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(2.147) |
Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, ,
konstant. Die dielektrische Verschiebung
und nicht das elektrische Feld
bleiben konstant.
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(2.148) |
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(2.151) |
Othmar Marti