Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik

Dielektrizitätskonstante

Gleichung (2.4)

$\displaystyle \varepsilon_0 = 8.8544 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N\; m^2} \index{epsilon@$\varepsilon_0$ Dielektrizit\uml {a}tskonstante des Vakuums}$

Coulomb-Gesetz

Gleichung (2.5)

$\displaystyle \vec{F}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$

Elektrisches Feld

Gleichung (2.7)

$\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$

Elektrische Feldlinien

Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
Die Anzahl der von einer Ladung ausgehenden oder auf einer Ladung endenden Feldlinien ist proportional zur Ladungsmenge.
Ihre Dichte ist proportional zum elektrischen Feld.

Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.10)

$\displaystyle \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\ii... ...ht\vert^2}\frac{\vec{r}_0 - \vec{r}}{\left\vert\vec{r}_0 -\vec{r}\right\vert}dV$

Ladung in einem Raumgebiet

Gleichung (2.12)

$\displaystyle Q = \displaystyle\int\limits_{V(S)} \rho_{el}(\vec{r}) dV$

dielektrische Verschiebung

Gleichung (2.15)

$\displaystyle \vec{D}(\vec{r}) = \varepsilon_0 \vec{E}(\vec{r})$

elektrischer Fluss

$\Phi = \displaystyle\int_{\textrm{Oberfl\uml {a}che}} \vec{E}\cdot d\vec{a}$

Gausssches Gesetz

Gleichung (2.14)

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}} \vec{E}\cdot \vec{n}da$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{Kugel}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \fra... ...cdot \frac{\vec{r}}{\left\vert\vec{r}\right\vert}r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$
$\displaystyle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}}\sin\Theta d\Theta d\varphi$
$\displaystyle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Differentialform des Gaussschen Gesetzes

Gleichung (2.19)

$\displaystyle {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{D}(\vec{r}) = \rho_{el} (\vec{r})$

Leiter

Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Potentielle Energie einer Probeladung

Gleichung (2.40)

$\displaystyle E_{pot}\left( \vec{r}_{2}\right) =E_{pot}\left( \vec{r}_{1}\right... ...\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} \frac{qQ}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}\cdot d\vec{r}$

Elektrostatisches Potential und Spannung

Gleichung (2.47)

$\displaystyle \varphi(\vec{r}) = U\left( \vec{r}\right) =\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{1 }{r}=\frac{E_{pot}\left( \vec{r}\right) }{q}$

Potentielle Energie und Potential

Gleichung (2.50)

$\begin{displaymath}\begin{array}{*{40}c} {\vec{F}\left( {\vec{r}} \right)} & _{}... ...t( {\vec{r}} \right)=U\left( {\vec{r}} \right)} \end{array}\end{displaymath}$

Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.53)

$\displaystyle U(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits \frac{\rho_{e... ...silon_0}\int\limits \frac{dq(\vec{r})}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}_i\right\vert}$

Poisson-Gleichung

Gleichung (2.68)

$\displaystyle \Delta U\left( \vec{r}\right) =-\frac{\rho_{el }\left( \vec{r}\right) }{\varepsilon _{0}}$

Kapazität

Gleichung (2.78)

$\displaystyle U_{j}-U_{i}=\frac{Q}{C_{ji}}=U_{ji}= \varphi_{ij}$

Parallelschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.87)

$\displaystyle C=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}$

Reihenschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.90)

$\displaystyle \frac{1}{C_{ges}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}$

Energiedichte des elektrostatischen Feldes

Gleichung (2.97)

$\displaystyle w_{el}=\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2}=\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2}$

Maxwell-Spannung

Gleichung (2.100) und Gleichung (2.102)

$\displaystyle \sigma_{Maxwell}=\lim\limits_{\Delta A\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{F}\left( \vec{r}\right)\cdot \vec{n}}{\Delta A}$

$\displaystyle \sigma_{Maxwell}=\frac{F}{A}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}=\frac{\vec{D}\cdot \vec{E}}{2}$

induziertes Dipolmoment

Gleichung (2.116)

$\displaystyle \vec{p}_{ind}=\frac{\left( Ze\right) ^{2}}{k}\cdot\vec{E}=\alpha\vec{E}$

Lorentz-Beziehung

Gleichung (2.132)

$\displaystyle E_i = \frac{1}{3\varepsilon_0}P$

dielektrische Suszeptibilität

Gleichung (2.123)

$\displaystyle \vec{D}=\varepsilon\varepsilon_{0}\vec{E}=\left( 1+\chi_{e}\right) \varepsilon _{0}\vec{E}$

Stetigkeit der Feldkomponenten

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Stetigkeitsbedingung für das Potential

$\displaystyle \varphi_1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \varphi_2$
$\displaystyle \varepsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \varepsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}$