©2005-2013 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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2.8  Energie des elektrischen Feldes

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729])

PIC Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator

Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = Q-
C aufgeladen. Wir transportieren die Ladung ΔQ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

                            Q ΔQ
W (Q,Q  + ΔQ  ) = U ·ΔQ   = ------
                              C
(2.1)

Dabei haben wir die Ladung ΔQ über die Potentialdifferenz U transportiert.

            Q∫ QdQ     Q2
W  (0,Q ) =   -----=  ---
            0  C      2C
(2.2)

also

           Q2
Epot(C ) = ---
           2C
(2.3)

oder mit C = ε0A-
 d

          -Q2d-
Epot(d) = 2 ε A
             0
(2.4)

oder mit Q = U·C

           U-2·C--
Epot(U ) =    2
(2.5)

Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung Q = EAε0 mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist V = A·d. Zusammen ergibt sich

         2               2
E   =  E--·A-·d-·-ε0=  E--·V-·-ε0 = E-·D--·V-
 pot         2             2            2
(2.6)

oder mit wel = lim V 0Epot
 V der Energiedichte des elektrischen Feldes

       ε0E2    E ·D
wel =  -----=  ------
        2        2
(2.7)

Die Kraft ΔFV auf ein Volumenelement ΔV wird durch

               ΔF--V-(r)
F V (r) = ΔliVm→0    ΔV     = ρel(r) E (r)
(2.8)

beschrieben, da

ΔF  V (r) = E (r)· ΔQ   = E (r) ·ρel· ΔV
(2.9)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

                ΔF   (r )·n
σMaxwell =  lim  -----------
           ΔA→0     ΔA
(2.10)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. n ist der Normalenvektor der Oberfläche.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: Epot = Q2-
2C. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + Δd zu bringen ist.

W (d,d + Δd )  =  F Δd
               =  E    (d + Δd ) - E   (d )
                    po2t             pot2
               =   -Q---(d + Δd ) - Q--d-
                   2ε0A             2ε0A
                   Q2Δd
               =   ------
                   2ε0A
                   Q2-  ΔdA--
               =   A2 · 2ε
                           0
               =  σ2 ΔdA--
                      2ε0
                   2  2  A Δd
               =  ε0E  · -----
                   ε      2ε0
               =   -0E2A Δd                            (2.11 )
                   2

und damit

           F-    ε0  2   D-·E--
σMaxwell =  A =  2 E  =    2
(2.12)

Beispiel: In einem Laser können Felder von 1012V∕m auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von 4.43·1012Pa 4.43·107 bar.


Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.

PIC Versuch zur Vorlesung: Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16)

2.8.1  Diskussion Versuch Flächenladungsdichte

Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten Potential φ = U gebracht werden.

PIC

Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.

In der Abbildung 2.8.1 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius R wird auf die Spannung U aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius r wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential φ0 = U. Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln

Cgemeinsam ≈  CR =  4πε0R
(2.13)

Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch

         (        )
QR  = 4π  R2 +  r2 σgemeinsam = CgemeinsamU  ≈  CRU  = 4π ε0RU
(2.14)

gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte σgemeinsam auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann

qr = 4πr2 σgemeinsam
(2.15)

Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich

         2                                     rσgemeinsam--
qr = 4πr  σgemeinsam =  CrUr =  4πε0rUr ⇒  Ur =      ε0

Aus dem Potential an der grossen Kugel U = Rσgemeinsam
    ε0 bekommt man

            ε0U
σgemeinsam =  ----
             R
(2.16)

und

       -r
Ur = U R
(2.17)

Aus Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) erhalten wir

                      2
q =  4πr2ε0U- =  4πε0r-U  = 4πr2σ
 r        R        R              gemeinsam
(2.18)

Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu 1∕R und damit proportional zu σgemeinsam.



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