Kapazitat: eine geometrische Eigenschaft

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2.7 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft

Materialien
Folien zur Vorlesung vom 04. 05. 2009: PDF

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 202])

Versuch zur Vorlesung: Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27)

Wir wollen das folgende Problem lösen:

Wieviel Ladung kann auf einer Leiteranordnung gespeichert werden?

Wir wissen:

Im Inneren der Leiter ist U = const und ρ_el = 0

An der Oberfläche sind die -Felder senkrecht zur Oberfläche
Zwischen den Leitern ist ρ_el = 0, also ΔU = 0
Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten.

Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum.

Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden

∬ qeingeschlossen E ·da = ------------ a ε0

(2.1)

Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist

ε0E ⊥ = σ

(2.2)

Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann

∫ ∫ Q = σda = ε0E ⊥da ≈ ε0E ⊥A A A

(2.3)

A repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[Jac75, 48]. Wenn wir die Leiter 1, 2,…n betrachten, ist

Uj - Ui = -Q- = Uji = φji Cji

(2.4)

mit U_j dem Potential auf dem Leiter j und U_i dem Potential auf dem Leiter i. C_ji ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j.

Da die Nummerierung in der Gleichung (2.4) willkürlich ist, muss C_ij = C_ji gelten.

Die Einheit der Kapazität ist

C- As- 1F arad = 1F = 1V = 1 V

(2.5)

Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator

Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.

Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant E_Ebene = -σ-
2ε0 ist (Gleichung (2.8) ).

Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q = Aσ = 2ε₀E_EbeneA.

Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist

E = 2EEbene

(2.6)

Also ist Q = Aσ = ε₀EA. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte

σ σd U2,1 = - E ·d = 2EEbene ·d = 2---d = --- 2ε0 ε0

(2.7)

Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung

U = σd- = -Qd- ε0 A ε0

(2.8)

oder

Q A -- = ε0-- = C U d

(2.9)

Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.

Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.

Beispiel: Ein Kondensator mit d = 0.1μm, A = 1m² und U = 10V

Dann ist C = 88.5μF, Q = 0.885mC, σ = QA- = 0.885 mCm2 und E = 10⁸V∕m

Aus der Additivität der Ladung folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.

Versuch zur Vorlesung: Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48)

Parallelschaltung von Kondensatoren.

Q1 = C1U Q2 = C2U Q3 = C3U (2.10 )

Qges = Q1 + Q2 + Q3 = (C1 + C2 + C3)U

(2.11)

oder

Qges Q1 + Q2 + Q3 -----= Cges = -------------- = C1 + C2 + C3 U U

(2.12)

bei Parallelschaltung

∑n C = Ci i=1

(2.13)

Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung U auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.

Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren.

Auf den Kondensatoren sind die Ladungen

Q = Q₁ = (U - U1) C₁ = Q₂ = (U1 - U2 ) C₂ = Q₃ = U₂C₃ gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können.