Die Lorentztransformation der Felder E und B

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3.10 Die Lorentztransformation der Felder und

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.9), nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.

Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.

Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit ₀ bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist

σ- Ez = ε0

(3.1)

wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist

v0· σ Bx = μ0 ·j = μ0· σ·v0 = -----2 ε0·c

(3.2)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S′ müssen nun berechnet werden. Auch in S′ sind die Platten homogen geladen. Also haben wir

′ σ′ Ez = ε0

(3.3)

und

′ ′ B ′= v0·σ-- x ε0·c2

(3.4)

Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ′ und v₀

′ --v0 --v- v0 = 1 - v·v0- (3.5) c2 σ0 = -σ- γ0 σ ′ σ0 = --′ γ0

wenn σ₀ das Ruhesystem der Ladungen und γ₀ = ( v2)
1 - c02

^-1∕2 ist. Wir bekommen

┌│ ---------- ′ γ-′0 │∘ 1 --v20∕c2- σ = σ· γ = σ 1 - v′2∕c2 0 0

(3.6)

und damit

┌ ------------------- ′ ││ 1 - v20∕c2 σ = σ││ ---(--------)2----- (3.7) │∘ 1 - --v0-v-- ∕c2 1- v·vc20 ∘--------- ( ) 1 - v20∕c2 1 - v·cv20- = σ-∘(---------)2--------------- 1 - v·cv20- - (v0 - v)2∕c2 ∘ --------- ( ) 1 - v20∕c2 1 - v·cv20- = σ-∘--------------2--2-------------------------- 1 - 2 v·cv20-+ v-·cv40-- v20∕c2 - v2∕c2 + 2vv0∕c2 ∘------2-- ( v·v ) ---1---v0∕c2--1----c20--- = σ ∘------2--2 ∘ -----2--2 1 -(v0∕v · 1) - v ∕c v·v0- = σ· γ· 1 - c2

Mit

′ -v0---v-- v0 = 1 - v·v0- c2

berechnet man

( ) ′ ′ v-·v0 ′ v0· σ = σ ·γ · 1 - c2 v0 ( v ·v ) v - v = σ ·γ · 1 - ---20 ---0-v·v0-- c 1 - c2 = σ γ (v0 - v) (3.8)

Materialien
Folien zur Vorlesung vom 15. 06. 2009: PDF
Aufgabenblatt 09 für das Seminar vom 17. 06. 2009 (Ausgabedatum 15. 06. 2009): (HTML oder PDF)

Damit ist

′ σ′ ( σ σv·v0 ) E z = -- = γ -- - ----2-- = γ (Ez - v ·Bx ) ε0 ε0 ε0c

(3.9)

und

′ ′ ( ) ( ) B ′ = v0·-σ- = γ σ·v0-- σ·v-- = γ B - v-E x ε0·c2 ε0c2 ε0c2 x c2 z

(3.10)

Damit sind die transversalen Felder B_x′ und E_z′ in S′ Linearkombinationen der Felder B_x und E_z in S.

Die Transformationseigenschaften von B_z und E_x erhält man, indem man die obige Anordnung um π∕2 um die y-Achse dreht. Dann gehen

Ez → Ex (3.11 ) B → - B x z (3.12 )

über. Die Transformationsgleichungen sind dann

E ′x = γ (Ex + v·Bz ) (3.13 ) ′ ( v ) B z = γ Bz + -2Ex c (3.14 )

Lorentztransformation von und .

Skizze zur Transformation eines longitudinale

-Feldes (links) und des

-Feldes (rechts).

Die Transformation des longitudinalen -Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators⁷ nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist

σ Ey = -- (3.15 ) ε0 ′ σ′ E y = ε 0′ σ = σ

Also ist auch

′ Ey = Ey

(3.16)

Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist

I·N By = μ0----- L

(3.17)

wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = ˙
Q ist