2005-2013 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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3.10  Die Lorentztransformation der Felder E und B

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.9), nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.

PIC

Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.

Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit v0 bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist

      σ-
Ez =  ε0
(3.1)

wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist

                          v0 σ
Bx = μ0 j =  μ0 σv0 =  -----2
                          ε0c
(3.2)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem Smssen nun berechnet werden. Auch in Ssind die Platten homogen geladen. Also haben wir

  ′   σ′
Ez =  ε0
(3.3)

und

       ′   ′
B ′=  v0σ--
  x   ε0c2
(3.4)

Wir brauchen die Transformationsgesetze fr σund v0

  ′     --v0 --v-
 v0 =   1 - vv0-                           (3.5)
              c2
σ0  =   -σ-
        γ0
        σ ′
σ0  =   --′
        γ0
wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = (    v2)
 1 - c02-12 ist. Wir bekommen
               ┌│ ----------
 ′      γ-′0    │∘  1 --v20∕c2-
σ  = σ γ  =  σ   1 - v′2∕c2
          0            0
(3.6)

und damit

         ┌ -------------------
 ′       ││      1 - v20∕c2
σ   =   σ││  ---(--------)2-----                                (3.7)
         │∘  1 -  --v0-v--   ∕c2
                 1- vvc20
             ∘--------- (        )
              1 - v20∕c2  1 - vcv20-
    =   σ-∘(---------)2---------------
             1 - vcv20-  - (v0 - v)2∕c2
                     ∘ --------- (        )
                       1 - v20∕c2  1 - vcv20-
    =   σ-∘--------------2--2--------------------------
           1 - 2 vcv20-+ v-cv40-- v20∕c2 - v2∕c2 + 2vv0∕c2
           ∘------2-- (    vv )
         ---1---v0∕c2--1----c20---
    =   σ ∘------2--2  ∘ -----2--2
           1 -(v0∕v     1) - v ∕c
                    vv0-
    =   σ γ  1 -   c2
Mit
 ′   -v0---v--
v0 = 1 - vv0-
          c2

berechnet man

                  (         )
 ′   ′                 v-v0   ′
v0 σ   =  σ γ   1 -   c2   v0
                  (    v v )   v -  v
        =  σ γ   1 - ---20  ---0-vv0--
                         c    1 -   c2
        =  σ γ (v0 - v)                                (3.8)

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 15. 06. 2009: PDF
Aufgabenblatt 09 fr das Seminar vom 17. 06. 2009 (Ausgabedatum 15. 06. 2009): (HTML oder PDF)

Damit ist

  ′   σ′     ( σ    σvv0 )
E z = -- = γ  -- -  ----2-- =  γ (Ez - v Bx )
      ε0      ε0     ε0c
(3.9)

und

        ′  ′     (             )     (           )
B ′ = v0-σ- = γ   σv0--  σv-- =  γ  B  -  v-E
  x   ε0c2        ε0c2    ε0c2          x   c2 z
(3.10)

Damit sind die transversalen Felder Bxund Ezin SLinearkombinationen der Felder Bx und Ez in S.

Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhlt man, indem man die obige Anordnung um π∕2 um die y-Achse dreht. Dann gehen

Ez   →   Ex                              (3.11 )
B    →   - B
  x         z
                                         (3.12 )
ber. Die Transformationsgleichungen sind dann
E ′x  =  γ (Ex + vBz  )                       (3.13 )
  ′       (      v    )
B z  =  γ  Bz +  -2Ex
                 c
                                              (3.14 )

PIC

Lorentztransformation von E und B.

Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts).

Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Lngenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators7 nicht vom Plattenabstand abhngt. Also ist

         σ
Ey   =   --                             (3.15 )
         ε0
  ′      σ′
E y  =   ε
          0′
  σ  =   σ
Also ist auch
 ′
Ey = Ey
(3.16)

Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes knnen mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist

        IN
By =  μ0-----
          L
(3.17)

wobei N die Anzahl Windungen und L die Lnge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I =  ˙
Q ist

B  = μ  N-dQ-
  y    0L  dt
(3.18)

Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann

  ′     N-dQ-
By = μ0 L′ dt′
(3.19)

Mit der Lngenkontraktion L= γL und der Zeitdilatation dt= dt∕γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit

 ′
By = By
(3.20)

ist.


Bei einer Bewegung in die y-Richtung mit v = (0,vy,0) (γ = 1∘ ---------
  1 - v2y∕c2) werden die elektrischen und magnetische Induktion wie
Ex = γ(vy)(Ex +  vyBz ) (3.21)
Ey = Ey
Ez = γ(vy)(Ez -  vyBx )
Bx = γ(vy)(       vy  )
  Bx -  -2Ez
        c
By = By
Bz = γ(vy)(           )
  B  + vy-E
   z   c2  x
transformiert.

Im Vakuum gilt B = μ0H = H
ε0c2-. Die Lorentztransformation fr elektrische und magnetische Felder ist dann


Ex = γ(vy)(      vy 1      )
  Ex + --2--Hz
        c ε0 (3.22)
Ey = Ey
Ez = γ(vy)(      vy-1-   )
  Ez - c2 ε Hx
           0
Hx = γ(vy)(Hx  - vyε0Ez)
Hy = Hy
Hz = γ(vy)(Hz  + vyε0Ex)



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