©2005-2013 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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6.8  Die Fresnelschen Formeln

PIC

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])

PIC PIC

Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.

Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.8 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und 6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.

PIC Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

PIC

Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen

Wir betrachten eine Welle E0, die aus dem Medium mit μ1 und ε1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ2 und ε2 fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle

Ee = Ee cos (k0·r  - ωet)
Er = Er cos (kr·r  - ωrt + φr)
Et = Et cos (k ·r  - ω t + φ )
  t       r     t (6.1)
Gegeben sind Ee, μ1, ε1, μ2, ε2, ke und ωe(|ke |). An den Grenzflächen gilt

Sei en der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes mit en liegt senkrecht zu en und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Unabhängig von der Richtung von Ee bekommt man mit dieser Operation immer die Tangentialkomponente von Ee zur Grenzfläche

en × Ee  × en
(6.2)

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren Er und Et in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden

en × Ee  × en + en × Er  × en = en × Et  × en
(6.3)

Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir

en ×Ee cos (ke·r  - ωet) ×en + en ×Er cos (kr·r  - ωrt + φr) ×en
= en ×Et cos (kt·r  - ωrt + φt) ×en (6.4)
Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
cos (ke ·r - ωet )|Grenzfläche = cos(kr·r  - ωrt + φr)|Grenzfläche
= cos(kt·r  - ωrt + φt)|Grenzfläche (6.5)
wobei r nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit en·r = 0. Damit Gleichung (6.5) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein
ωe =  ωr = ωt
(6.6)

Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

ke·r |Grenzfläche = kr ·r +  φr|Grenzfläche = kt·r  + φt|Grenzfläche (6.7)
r zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche, ist im Allgemeinen nicht parallel zu ihr. Aus der ersten Gleichung in (6.7) folgt
((ke -  kr)·r )Grenzfläche = φr
(6.8)

Eine Gleichung vom Typ a·r = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von r liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor a. ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke -kr liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke -kr. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst |ke| = ke = |kr | = kr. Wir können also schreiben

en × (ke - kr) = 0
(6.9)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

kesinα =  kr sinβ ⇒ sinα =  sin β ⇒  α = β
(6.10)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der reflektierten Welle kr.


Das Reflexionsgesetz besagt, dass
α =  β

(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)


Aus Gleichung (6.7) folgt weiter

((k -  k )·r )         = φ
   e    t     Grenzfläche    t
(6.11)

Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke -kt liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke -kt. Wir können also schreiben

en × (ke - kt) = 0
(6.12)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

ke sin α = kt sin γ
(6.13)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der transmittierten Welle kt. Aus der Wellengleichung folgt

ω-=  c =  ----1------
ki    i   √ μiμ0εiε0
(6.14)

Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.13) auch als

ωe-        ωt-
ce sin α =  ct sinγ
(6.15)

oder

√ ---------        √ ---------        √ -----        √-----
  μ1 μ0ε1ε0sinα =    μ2μ0ε2ε0 sin γ ⇒    μ1ε1 sin α =   μ2 ε2sinγ
(6.16)


Mit der Definition (6.1) bekommt man auch
n1 sin (α) = n2sin(γ)
(6.17)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.


Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.

6.8.1  s-Polarisation

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009
Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07. 2009).

Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

 ∘ -----                     ∘ -----
1-  ε1ε0-(  2    2)         1- -ε2ε0  2
2   μ μ   Ee - E r  cosα =  2  μ  μ E t cos γ
     1 0                         2 0
(6.18)

wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen en sind, Ee ist die E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die der reflektierten und Et die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

∘ ---                   ∘ ---
  ε1-(E2 - E2 ) cosα =    ε2E2 cos γ
  μ1   e     r            μ2  t
(6.19)

Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.3)

Ee + Er  = Et
(6.20)

Wir beachten, dass a2 -b2 = (a-b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

∘ ---                  ∘ ---           ∘ -----
  -ε1(E  - E  )cos α =    ε2E  cosγ ⇒     ε1μ2-(E  - E  )cos α = E  cosγ
  μ1    e    r            μ2  t           μ1ε2   e    r           t
(6.21)


Die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation lauten
Er = Ee ∘ ---       ∘ ---
   ε1cos α -   -ε2 cosγ
-∘-μ1--------∘-μ2------
   εμ11 cos α +  με22 cosγ
Et = Ee       ∘ ---
      2   ε1μ1 cosα
-∘-ε1--------∘-ε2------
   μ1 cos α +  μ2 cosγ (6.22)
Mit den Brechungsindizes n1 = √ -----
  μ1 ε1 und n2 = √ -----
  μ2ε2 erhält man
Er = Eenμ11 cosα - nμ22 cosγ
n1--------n2------
μ1 cosα + μ2 cosγ
Et = Ee    2 nμ11 cos α
n1--------n2------
μ1 cosα + μ2 cosγ (6.23)

Nach dem Brechungsgesetz ist

sin-γ
sinα = ∘ -----
  μ1-ε1
  μ2 ε2 = μ1-
μ2∘ -----
  ε1μ2-
  μ1ε2
∘ -----
   ε1μ2-
   μ1ε2 = μ2-
μ1sin-γ-
sin α

Wir setzen dies ein und erhalten

μ2
---
μ1sin γ
-----
sin α(Ee - Er ) cos α = Et cos γ
(Ee---Er-)cosα-sinγ-
         μ1 = Et-cosγ-sinα-
     μ2 (6.24)

Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen


Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation
Er = Ee-1sin γ(α)cos α - -1 sin α cosγ(α )
μ11----------------μ21--------------
μ1 sin γ(α)cos α + μ2 sin α cosγ(α )
Et = Ee         -2 sin γ(α) cosα
-1-------μ1--------1--------------
μ1 sin γ(α)cos α + μ2 sin α cosγ(α ) (6.25)
Dabei ist
√ μ-ε-sinα =  √ μ-ε--sin γ
   1 1           2 2


Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden


Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien
Er = Eesinγ(α )cosα -  sin α cosγ(α )
-----------------------------
sinγ (α )cosα +  sin α cosγ(α )
= -Eesin-(α----γ(α))-
sin (α +  γ(α))
Et = Ee-------2-sin-γ(α)-cosα--------
sinγ(α )cosα +  sin α cosγ(α )
= Ee2 sin γ(α) cosα
---------------
 sin(α + γ (α)) (6.26)
Dabei ist
√ --        √ --
  ε1sinα =    ε2sin γ



Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien
Ir = Ie                              2
[sin-γ(α)-cosα---sinα-cos-γ(α)]-
[sin γ(α) cosα + sinα cos γ(α)]2
= Ie   2
sin--(α --γ(α))-
sin2(α + γ(α))
It = n2
---
n1Ie4sin2γ (α )cos2α
---2-------------
 sin (α + γ (α)) (6.27)

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1ε0c
 2Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor nn21 für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n1. Ist n2 grösser als n1. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I2 muss grösser werden.

6.8.2  p-Polarisation

PIC

Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von E durch

(Ee - Er )cosα  = Et cosγ
(6.28)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)

∘ ---                   ∘ ---
  ε1-(  2    2)           ε2- 2
  μ1  Ee - E r  cosα =    μ2E t cos γ
(6.29)

Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten

∘ ---             ∘ ---
   ε1(Ee +  Er) =    ε2Et
   μ1                μ2
(6.30)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

Ee∘ ---
  ε1-
  μ1 = -∘ ---
  ε1-
  μ1Er + Et∘ ---
  ε2-
  μ2
Ee cos α = Er cos α + Et cos γ (6.31)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit ∘---
  εμ11 und addieren

    ∘ ε--          ( ∘ ε--        ∘ ε--     )
2Ee   -1-cosα =  Et    --2cos α +   -1-cosγ
      μ1               μ2           μ1
(6.32)

Um Er zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (6.31) mit cos γ und die untere mit ∘ ε2-
  μ2, subtrahieren und erhalten

   ( ∘ ---        ∘ ---     )        ( ∘ ---        ∘---     )
Ee     ε1-cosγ -    ε2-cosα   = - Er     ε1-cosγ +    ε2-cos α
       μ1           μ2                   μ1           μ2
(6.33)

Damit erhält man


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
Er = Ee ∘ ---       ∘ ---
   ε2cos α -   -ε1 cosγ
-∘-μ2--------∘-μ1------
   εμ1cos γ +   εμ2 cosα
    1           2
Et = Ee       ∘ ---
      2   ε1μ1 cosα
-∘-ε2--------∘-ε1------
   μ2 cos α +  μ1 cosγ (6.34)

Mit den Brechungsindizes n1 = √ -----
  μ1ε1 und n2 = √ -----
  μ2ε2 erhält man


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
Er = Eenμ22 cosα - nμ11 cosγ
n1--------n2------
μ1 cosγ + μ2 cosα
Et = Ee    2 nμ11 cos α
n2--------n1------
μ2 cosα + μ1 cosγ (6.35)

Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
Er = Een2 cosα - n1 cosγ
------------------
n1 cosγ + n2 cosα
Et = Ee----2n1-cos-α-----
n2 cosα + n1 cosγ (6.36)

Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α = n2 sin γ eliminiert werden


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
Er = Eesin-αcos-α---sin-γ-cosγ-
sin γ cos γ + sin α cosα
Et = Ee------2sinγ-cosα------
sin αcos α + sin γ cosγ (6.37)

Mit sin(α ± γ) cos(α γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
Er = Eesin-(α----γ)cos(α-+-γ-)
sin (α +  γ)cos(α - γ )
Et = Ee     2sin γ cosα
---------------------
sin (α +  γ)cos(α - γ ) (6.38)

Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden


Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
Er = Eetan-[α----γ(α)]
tan [α +  γ(α)]
Et = Ee------2-sin-γ(α-)cosα-------
sin[α + γ(α )]cos [α - γ (α)] (6.39)

PIC

Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die s- und p-Polarisation.

Im Grenzfall α 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.38) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld Er,p > 0. Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes Es,p für α gegen Null bei Gleichung (6.26) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.8.2 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte Es,p und Ep,r sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.

Wenn in der Gleichung (6.38) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also Er(α = π∕2 - γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten


Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
Ir = Ietan2[α - γ(α )]
---2-----------
tan [α + γ(α )]
It = Ien2-
n
 1-----4-sin2-γ(α)cos2-α------
sin2[α + γ(α )]cos[α - γ (α)] (6.40)

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1ε c
-02-Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor nn2
 1 für It.

PIC

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.

PIC

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

PIC

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1)eintreten.

PIC

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 20. 07. 2009

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist

        ε c
Ie,⊥ =  n-0-E2e cos α
         2
(6.41)

Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

Ir,⊥ =  nε0cE2 cos α
         2   r
(6.42)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

        ′ε0c 2
Ig,⊥ = n  2  Eg cosα
(6.43)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation

Ie,p, = nε0c
 2Ee2 cos α
= Ir,p, + Ig,p,
= nε0c
 2Ee2    2
tan--[α---γ-(α)]
tan2 [α + γ (α)] cos α
+ nε0c
 2Ee2          2        2
------4sin-γ(α-)cos-α-------
sin2[α + γ (α )]cos2[α - γ (α)] cos(γ(α))
= ε0c
 2Ee2
[  sin2 [α - γ (α)]cos2[α -  γ(α)]cos α
 n -----2--------------2-------------
      sin [α + γ(α )]cos[α - γ (α )]
+                               ]
   4 sin2 γ(α )cos2α cos(γ(α))
n ′--2-------------2----------
  sin [α + γ(α)]cos [α - γ(α )]
= nε0c-
  2Ee2
[
 sin2[α - γ (α)]cos2[α + γ (α)]cosα
+                                     ]
--sinα--     2        2
sin γ (α )4sin γ (α)cos α cos(γ (α ))
·[                             ]
 sin2 [α + γ (α )]cos2[α - γ (α )]-1
= nε0c
-----
  2Ee2 cos α
[
 sin2[α -  γ(α)]cos2[α + γ(α)]
+ 4 sin α sin γ(α) cosα cos(γ(α))]
·[                            ]
 sin2 [α + γ (α)]cos2[α -  γ(α)]-1 (6.44)

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

X = {   2             2                                          }
 sin [α - γ(α)]cos [α + γ(α )] + 4sinα sinγ (α)cos αcos(γ (α ))
·{                            }
 sin2 [α + γ (α)]cos2[α -  γ(α)]-1
berechnen.

X = {   2          2                       }
 sin  [α - γ ]cos [α + γ ] + sin(2α) sin(2γ )
·{   2          2       }
  sin [α + γ]cos [α - γ]-1 (6.45)
= {   2          2                       }
 sin  [α - γ ]cos [α + γ ] + sin(2α) sin(2γ )
·{                      }
  sin2[α + γ]cos2[α - γ]-1
= {
 1-                  1-
 2 (1 - cos[2 α - 2γ])2 (1 + cos[2α +  2γ])
+ sin(2α )sin(2γ)}
·{                                        }
  1-(1 - cos[2α + 2 γ]) 1-(1 + cos[2α - 2 γ])
  2                   2-1
= {(1 - cos[2α -  2γ])(1 + cos[2α + 2 γ])
+ 4sin(2α) sin(2γ )}
·{(1 - cos[2α + 2γ ]) (1 + cos[2α - 2γ ])}-1
= {(1 - cos[2α -  2γ])(1 + cos[2α + 2 γ])
+ 2(cos[2α - 2γ] - cos[2 α + 2γ])}
·{(1 - cos[2α + 2γ ]) (1 + cos[2α - 2γ ])}-1

Wir setzen A = cos[2α - 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung um

X = (1 --A)(1-+-B-) +-2A---2B--
      (1 - B )(1 - A ) (6.46)
= 1---A-+-B----AB--+-2A----2B-
      1 + A - B -  AB
= 1 + A - B  - AB
1-+-A---B----AB--
= 1

Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.

PIC

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (n1 = 1) Medium in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.

PIC

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten.

Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = niE2 cos(α i) berechnet, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von εE = D liefert das Snelliussche Gesetz.

6.8.3  Evaneszente Wellen

PIC

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])

PIC Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium in das schnellere eintreten, es Winkel gibt (n2 sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der k-Vektor de elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikr mit k = der exponentielle Dämpfungsfaktor e-κr, wobei κ vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

PIC

Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.



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