Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.
Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.8 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und 6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.
Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)
Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
Wir betrachten eine Welle 0, die aus dem Medium mit μ1 und ε1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ2 und ε2 fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
e | = e cos | ||
r | = r cos | ||
t | = t cos | (6.1) |
Sei n der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes mit n liegt senkrecht zu n und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Unabhängig von der Richtung von e bekommt man mit dieser Operation immer die Tangentialkomponente von e zur Grenzfläche
| (6.2) |
Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren r und t in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden
| (6.3) |
Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir
n ×e cos ×n | + n ×r cos ×n | ||
= n ×t cos ×n | (6.4) |
Grenzfläche | = Grenzfläche | ||
= Grenzfläche | (6.5) |
| (6.6) |
Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
Grenzfläche = Grenzfläche | = Grenzfläche | (6.7) |
| (6.8) |
Eine Gleichung vom Typ · = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor . ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu e -r liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor n liegt. n ist also parallel zu e -r. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst = ke = = kr. Wir können also schreiben
| (6.9) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
| (6.10) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der einfallenden Welle e und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der reflektierten Welle r.
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
(Einfallswinkel=Ausfallswinkel) |
Aus Gleichung (6.7) folgt weiter
| (6.11) |
Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu e -t liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor n liegt. n ist also parallel zu e -t. Wir können also schreiben
| (6.12) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
| (6.13) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der einfallenden Welle e und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der transmittierten Welle t. Aus der Wellengleichung folgt
| (6.14) |
Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.13) auch als
| (6.15) |
oder
| (6.16) |
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009
Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07.
2009).
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
| (6.18) |
wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen n sind, Ee ist die E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die der reflektierten und Et die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
| (6.19) |
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.3)
| (6.20) |
Wir beachten, dass a2 -b2 = (a-b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten
| (6.21) |
Nach dem Brechungsgesetz ist
= | = | ||||||
= |
Wir setzen dies ein und erhalten
cos α | = Et cos γ | ||
= | (6.24) |
Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n1. Ist n2 grösser als n1. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I2 muss grösser werden.
Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die -Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die -Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.
Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von durch
| (6.28) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
| (6.29) |
Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
| (6.30) |
Damit müssen wir das Gleichungssystem
Ee | = -Er + Et | ||
Ee cos α | = Er cos α + Et cos γ | (6.31) |
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit und addieren
| (6.32) |
Um Er zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (6.31) mit cos γ und die untere mit , subtrahieren und erhalten
| (6.33) |
Damit erhält man
Mit den Brechungsindizes n1 = und n2 = erhält man
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu
Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α = n2 sin γ eliminiert werden
Mit sin(α ± γ) cos(α ∓ γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen
Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden
Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die s- und p-Polarisation.
Im Grenzfall α → 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.38) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld Er,p > 0. Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes Es,p für α gegen Null bei Gleichung (6.26) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.8.2 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte Es,p und Ep,r sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.
Wenn in der Gleichung (6.38) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also Er(α = π∕2 - γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für It.
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 20. 07. 2009
Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist
| (6.41) |
Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
| (6.42) |
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
| (6.43) |
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation
Ie,p,⊥ = | nEe2 cos α | ||
= Ir,p,⊥ + Ig,p,⊥ | |||
= | nEe2 cos α | ||
+ n′Ee2 cos(γ(α)) | |||
= | Ee2 | ||
+ | |||
= | Ee2 | ||
+ | |||
·-1 | |||
= | Ee2 cos α | ||
+ | |||
·-1 | (6.44) |
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
X = | |||
·-1 |
X = | |||
·-1 | (6.45) | ||
= | |||
·-1 | |||
= | |||
+ | |||
·-1 | |||
= | |||
+ | |||
·-1 | |||
= | |||
+ | |||
·-1 |
Wir setzen A = cos[2α - 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung um
X | = | (6.46) | |
= | |||
= | |||
= 1 |
Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.
Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = niE2 cos(α i) berechnet, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von ε = liefert das Snelliussche Gesetz.
Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium in das schnellere eintreten, es Winkel gibt (n2 sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der -Vektor de elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikr mit k = iκ der exponentielle Dämpfungsfaktor e-κr, wobei κ vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.