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2.3  Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz

Nach der Gleichung (2.4) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch

     ∭

Q  =       ρel(r)dV
     V (A)
(2.1)

ausgedrückt werden.

PIC

Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum

Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir definieren den Normalenvektor am Ort r als n = r|r| = r∕r. Das Oberflächenelement da ist da = r2 sin ΘdΘ.

Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist

E (r) =  -Q----r-
         4πε0|r|3
(2.2)

Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz

                                     (              )
     ∫                        ∫           Q       r     r  2
            E ·nda   =                --------2· ---  · --r  sin Θd Θd φ
Kugeloberfläche              Kugeloberfläche  4 πε0|r|   |r|    |r |
                              ∫           2     (        )
                     =               --Qr----·   -r-· -r-  sin Θd Θd φ
                         Kugeloberfläche 4πε0 |r |2    |r|  |r|
                                   ∫
                     =   --Q--            sinΘd Θd φ
                         4π ε0
                              Kugeloberfläche
                         Q-
                     =   ε0                                            (2.3)

Die Grösse Φ = OberflächeE·da ist der Fluss des Vektorfeldes E oder der Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung


D (r) = ε E (r)
         0
(2.4)


einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist [D] = C∕m2 = As∕m2.

Weiter ist

     ∫                    ∫
            D ·da  =             D ·nda  =  Q
Kugeloberfläche          Kugeloberfläche
(2.5)

Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das Volumen V (S) einschliesst.

PIC

Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.


∬                  ∬
    D  (r )·da (r)=     D (r )·n  (r)da(r )             (2.6)

 A                  A
                 =Qin  A
                   ∭
                 =       ρel(r)dV

                   V (A)

Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in

∬                   ∭                    ∭
     D (r)·da (r) =       div D (r)dV  =       ρel(r)dV

 A                  V (A )                V(A)
(2.7)

Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein


div D  (r ) = ρel(r)
(2.8)


Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.

Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.8) : div D(r) = 0. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld v(r) gilt nämlich div v(r) = 0.

2.3.1  Dipole in elektrischen Feldern

Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung -q im Abstand ℓ von einer positiven Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment

p =  qℓ
(2.9)

Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = Cm. Der Vektor des Dipols zeigt von -q nach +q.

PIC

Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.

Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft F und auf die negative Ladung -F. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment

T =  ℓ × F =  (qℓ) × (F ∕q) = p × E
(2.10)

PIC Versuch zur Vorlesung: Drehmoment auf einen elektrischen Dipol
(Versuchskarte ES-30)

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 27. 04. 2009: PDF



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