Nach der Gleichung (2.4) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch
| (2.1) |
ausgedrückt werden.
Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum
Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir definieren den Normalenvektor am Ort als = ∕ = ∕r. Das Oberflächenelement da ist da = r2 sin ΘdΘdφ.
Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist
| (2.2) |
Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz
Die Grösse Φ = ∫ Oberfläche·d ist der Fluss des Vektorfeldes oder der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung
einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist [] = C∕m2 = As∕m2.
Weiter ist
| (2.5) |
Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das Volumen V (S) einschliesst.
Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.
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Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in
| (2.7) |
Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein
Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.
Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.8) : div () = 0. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld () gilt nämlich div () = 0.
Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung -q im Abstand von einer positiven Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment
| (2.9) |
Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = Cm. Der Vektor des Dipols zeigt von -q nach +q.
Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.
Im homogenen elektrostatischen Feld wirkt auf die positive Ladung die Kraft und auf die negative Ladung -. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment
| (2.10) |
Versuch zur Vorlesung: Drehmoment auf einen elektrischen
Dipol
(Versuchskarte ES-30)
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 27. 04. 2009: PDF