2.4  Elektrische Felder von Leitern

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 645])

Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4)

Die elektrischen Felder

• in der Nähe eines ausgedehnten Leiters
• auf der Symmetrieachse eines Kreisrings
• auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe
• innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche
• in allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter

werden im Anhang berechnet.

Versuch zur Vorlesung: Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9)

Versuch zur Vorlesung: Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21)

Versuch zur Vorlesung: Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19)

Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.

Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius r > R ist

(2.1)

Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche Q ist, haben wir

(2.2)

Damit ist für r > R

(2.3)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für r < R ist die eingeschlossene Ladung Q = 0. Damit ist auch Φ_ges = E_r4πr² = 0 und folglich für r < R

(2.4)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für r > R ist wie oben Φ_ges = E_r4πr² = Q∕ε ₀. Also ist für r > R

(2.5)

Wenn die Ladungsdichte ρ_el = Q∕V = Q∕(R³) ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < R umschlossene Ladung Q′ = ρ_elV (r) = ρ_elr³

(2.6)

Weiter haben wir E_r4πε₀r² = Q. Also ist für r < R

(2.7)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.

• Da wir Translationsinvarianz für jede Richtung in der Plattenebene haben, muss das elektrische Feld senkrecht auf der Platte stehen.
• Die elektrischen Felder auf den beiden gegenüberliegenden Seiten der Platte müssen entgegengesetzt gerichtet sein, da die Platte eine Ebene mit Spiegelsymmetrie darstellt.
• Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche parallel zur Platte. Die Seitenflächen können beliebig hoch sein, da die Symmetrieüberlegungen besagen, dass sie keinen Beitrag zum Fluss liefern.

Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist

(2.8)

da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.

Also ist

(2.9)

homogen im Raum.

Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung ℓ. Wir können drei Fälle unterscheiden:

r « ℓ

Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar.

r ≈ ℓ

Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand.

R » ℓ

Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt nicht unterscheidbar.

Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von E_t = 30300J∕m² haben. Die Definition von E_t ist

wobei v_s = 0.01m∕s die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und A die Kontaktfläche ist. Δt = 0.1s ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte σ ist E = σ∕ε₀. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte σ ist dann F∕A = σ²∕ε ₀. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir

und daraus die Flächenladungsdichte

Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen e im Abstand d angebracht sind. d ist dann

Wenn wir E_t einsetzen erhalten wir d ≈ 10 nm…18 nm. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.

Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird E = σ∕ε₀.

Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum E = σ∕ε₀.

Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.

Der gesamte Fluss ist

(2.10)

da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir

(2.11)

und

(2.12)

Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:

2.4.1  Influenz und Bildladung

Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ(), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine Bildladung -q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet.

Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft

(2.13)

angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (z-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche

(2.14)

Damit ist die Oberflächenladungsdichte

(2.15)

Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden⁵ .