Elektrostatisches Potential

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2.5 Elektrostatisches Potential

Materialien
Folien zur Vorlesung vom 30. 04. 2009: PDF
Aufgabenblatt 03 für das Seminar vom 06. 05. 2009 (Ausgabedatum 30. 04. 2009): (HTML oder PDF)

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 681])

Die Arbeit ist durch

∫r2 W (r → r ) = F (r)·dr 1 2 r1

(2.1)

definiert.

Die potentielle Energie eines Kraftfeldes (x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist _ext = -. Also

∫x2 Epot(x2) = Epot(x1) + F ext(x) ·dx (2.2) x1 ∫x2 = E (x ) - F (x)dx = E (x ) - W (x → x ) (2.3) pot 1 pot 1 1 2 x1

Eine potentielle Energie existiert, wenn

Die Arbeit W unabhängig vom Weg ist.
Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen).
rot = 0 für alle

Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist

r∫2 Epot (r2) = Epot(r1) - --1--qQ-r-·dr r 4π ε0r2 r 1

(2.4)

Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist ∫ ·d = 0, entlang der radialen Teile ist ∫ ·d = ∫ E(r)ds.

Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen.

qQ ∫r2 dr Epot(r2) = Epot(r1) - ----- --- (2.5) 4π ε0r1 r2 ( )r2 ( ) = Epot(r1) - -qQ-- - 1- = Epot(r1) + qQ--- -1 - -1 4πε0 r r1 4πε0 r2 r1

Üblicherweise setzt man E_pot (r = ∞ ) = 0. Damit wird

-qQ-- 1- Epot (r) = 4πε0 · r

(2.6)

Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten

F (r) = - grad Epot(r)

(2.7)

berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir

( ) ( ) -qQ--1- -qQ-- 1- -qQ-- -1 F (r ) = - grad 4 πε0r = - 4π ε0grad r = - 4π ε0· - r2 grad r qQ r = ------- (2.8) 4π ε0r3

In Komponenten ist r = √x2--+-y2-+-z2 und grad = = (-∂,-∂,-∂)
∂x ∂y ∂z

Also

( ) ( ) ∂∂x grad 1- = |( ∂- |) -√-----1------- r ∂∂y x2 + y2 + z2 ∂z ( ) ∂- ( ) = - 1-------1--------|( ∂∂x |) x2 + y2 + z2 2 (x2 + y2 + z2)32 ∂∂y ( ∂z ) 2x = - 1-------1--------|( 2y |) 2 (x2 + y2 + z2)32 2z 1- = - r3·r (2.9)

Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.

Q r E (r) = ------3 4 πε0r

(2.10)

Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential φ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.

-Q---1- Epot(r)- φ (r) = U (r) = 4π ε r = q 0

(2.11)

Wichtig ist die Beziehung

Epot(r) = qφ (r) = qU (r)

(2.12)

Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit

E = - grad φ - grad U

(2.13)

berechnet.

Folgende Relationen gelten

lim ∕q q→0 -→ F (r) ← - E (r) ·q - ∫ F dr ↑ - ∫ Edr ↑ ↓ - grad Epot ↓ - grad φ lqim→0∕q -→ E (r) φ (r) = U (r) pot ← - ·q

(2.14)

Wir merken uns

r ∫2 U (r2) = U (r1) - E (r) ·dr r1

(2.15)

analog zur potentiellen Energie.

Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist

--Joule-- -J- W-- 1Volt = 1 Coulomb = 1As = 1 A

Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor , bei der Gravitation

Das Gravitationspotential ist U_grav (r) = -G m-
r .

Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen q_i an den Orten _i ist also

N∑ 1 N∑ qi U (r) = U (ri) = ----- -------- i=0 4πε0 i=0 |r - ri|

(2.16)

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρ_el() ist das Potential

∭ ∭ U (r) = --1-- -ρel(ri)-dV = -1--- dq-(ri)-- 4π ε0 |r - ri| 4πε0 |r - ri|

(2.17)

Versuch zur Vorlesung: Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8)

Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ∕(2ε₀). Das elektrostatische Potential eines Punktes P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren.

∫x σ ∫x σ U(x) = U (0) - Ed ξ = U (0) - ---- dξ = U (0) - ---x fürx > 0 0 2ε0 0 2ε0

(2.18)

Für x < 0 berechnet man

( ) U (x) = U (0) - - -σ-- x = U (0) + -σ-x fürx < 0 2ε0 2ε0

(2.19)

Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U₀ = 2 und σ = 2ε₀.

Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass

dU (x) = --1--1dq 4π ε0r

ist, mit

∫2π dq = Q 0

Wir erhalten

∫2π ∫2π U (x) = --1-- dq-= --1-- √---dq---- = --1---√--Q----- 4π ε0 r 4 πε0 x2 + R2 4π ε0 x2 + R2 0 0

(2.20)

Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4πε₀ und dem Radius R = 2.

Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei σ = Q∕(πR²). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda und erzeugt dann das Potential

dU (a,x) = --1--√---dq---- 4π ε0 x2 + a2

(2.21)

Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir

R∫ R∫ U(x ) = -1--- -2√πa-σda--= -σ-- -√-ada---- 4πε0 x2 + a2 2ε0 x2 + a2 0 0

(2.22)

Dieses Integral ergibt nach Bronstein[BSMM00, Seite 309, Nr. 193]

σ √ -------||R σ ( √ -------- ) U (x) = ---- x2 + a2|0 = ---- x2 + R2 - x 2 ε0 2ε0

(2.23)

Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x →∞ wie das Potential einer Punktladung, da

( ∘------2 ) ( 2 ) 2 U(x) = σ--(x 1 + R--- x) ≈ -σ-- x + R--- x = σ--R-- 2ε0 x2 2 ε0 2x 4ε0 x

Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten Glied.

U(0)	=
_x=0	= _x=0	=	-
U(x)	≈	=

Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für x » R wie eine Punktladung und für x « R wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.

Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2ε₀.

Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist E_r(r) = 41πε0- Qr2- . Damit ist das Potential

r ∫ --1--Q- U (r) = U (∞ ) - 4π ε r2dr ∞ 0 Q ∫r dr = U (∞ ) - ----- -2- 4π ε0∞ r Q ( 1) ||r = U (∞ ) - ----- - -- || 4π ε0 r ∞ -Q---1- = U (∞ ) + 4π ε0r (2.24 )

Oder mit U(∞) = 0

Q 1 U (r) = ------- fürr > R 4πε0 r

(2.25)

Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.

U (r ) = -Q---1- fürr < R 4πε0 R

(2.26)

Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und Q = 8πε₀.

Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische Feld ist E = λ∕(2πε₀x). Das Potential ist dann