Hier soll mit einer beschleunigten Ladung erklärt werden, wie Wellen im Raum entstehen.
Versuch zur Vorlesung: | |
Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW099) | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Stehende Wellen (Versuchskarte SW032) | |
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Wellenausbreitung
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Wir betrachten eine Ladung q, die die folgende Geschwindigkeit hat
Die Beschleunigungszeit Δt sowie die Beschleunigung
sollen so gewählt sein, dass
gilt. Die Behauptung ist, dass das elektrische Feld
für t » Δt wie in der Zeichnung oben aussieht. In der
Beschleunigungsphase soll eine elektromagnetische Welle
erzeugt worden sein. Ausserhalb der Kugel mit dem Radius
muss das elektrische Feld das Feld einer im Ursprung ruhenden Ladung sein, da nach der Relativitätstheorie die Information über die Beschleunigung diesen Raum noch nicht erreicht haben kann.
Innerhalb der Kugel mit
haben wir das Feld der Ladung q, die sich mit der konstanten
Geschwindigkeit bewegt, denn in diesem Bereich ist die
noch unbekannte Welle erzeugt durch die Beschleunigung
einer Ladung schon wieder vorbei. Die Feldlinien im
Laborsystem können wir erhalten, indem wir das elektrische
Feld im Ruhesystem der Ladung (radiale Feldlinien) in das
Laborsystem transformieren. Wenn v « c ist, haben wir auch
im Laborsystem radiale Feldlinien, die von der momentanen
Position der Ladung weggehen. Die Maxwellgleichung im
Vakuum div
= 0 bedingt, dass die Feldlinien geschlossen
und stetig sind. Die Vermutung ist, dass die Feldlinien in der
Wellenzone linear die beiden Feldlinienmuster miteinander
verbinden.
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Berechnung der Wellenausbreitung
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Da t » Δt ist, kann die Beschleunigungsphase für die Bestimmung der Position der Ladung zur Zeit t vernachlässigt werden. Wir haben also
![]() | (6.1) |
Wegen v « c ist dann auch
![]() | (6.2) |
sowie wegen t » Δt auch
![]() | (6.3) |
Wir bezeichnen mit ⊥ die Richtung senkrecht zum Radiusvektor
. Wir erhalten dann, unter der Annahme, dass das
-Feld in
der Wellenzone linear sei,
![]() | (6.4) |
Mit
![]() | (6.5) |
sowie mit t = r∕c bekommen wir
![]() | (6.6) |
Andererseits, wenn wir die Integralform der ersten
Maxwellgleichung auf den kleinen Zylinder an der Stelle
anwenden, erhalten
![]() | (6.7) |
und damit mit dem Coulombgesetz
![]() | (6.8) |
Dies bedeutet, dass das radiale r-Feld sich stetig durch die
Kugelschale hindurch fortsetzt. Die Komponente
⊥ existiert
nur in der Wellenzone. Das
⊥-Feld ist das gesuchte Feld der
elektromagnetischen Feldes, das Strahlungsfeld. Seine Grösse
ist
![]() | (6.9) |
Vektoriell geschrieben lautet diese Gleichung
![]() | (6.10) |
Das elektrische Feld an der Stelle
ist proportional zur
senkrechten Komponente der Beschleunigung, aber zur
retardierten Zeit t′ = t−r∕c. Zum Strahlungsfeld gehört auch
ein
-Feld, das so gerichtet ist, dass
,
und
ein
Rechtssystem bilden.
ist die Ausbreitungsrichtung. Das
Magnetfeld ist, in vektorieller Schreibweise,
![]() | (6.11) |
Wenn wir Δt halbieren, bleibt der äussere Teil der des Strahlungsfeldes konstant, der innere Teil liegt dann in der Mitte der Verbindungslinie durch die Wellenzone. Durch fortgesetzte Anwendung dieses Verfahrens wird die Linearität des elektrischen Feldes in der Wellenzone gezeigt.
Wenn ⊥
ist, gilt die Vektoridentität
×
×
=
=
2
. Also ist im Vakuum
![]() | (6.12) |
Also ist kollinear zur Ausbreitungsrichtung
. Mit
= 1∕c erhalten wir auch im Vakuum
![]() | (6.13) |
Diese Gleichung kann auf lokal isotrope Medien erweitert werden (𝜀 und μ sind Zahlen!)
![]() | (6.14) |
Beispiel: Ein Elektron in einem Atom führe in die z-Richtung die harmonische Bewegung
![]() | (6.15) |
aus. Dabei ist t′ die retardierte Zeit. Die Beschleunigung ist
![]() | (6.16) |
Das elektrische Feld ist
![]() | (6.17) |
Das Magnetfeld ist
![]() | (6.18) |
Der Poynting-Vektor oder Energiefluss ist
![]() | (6.19) |
Mit
t = 1∕2 wird die Intensität
![]() | (6.20) |
Damit haben wir gezeigt, dass die Annahme eines harmonischen Oszillators das Strahlungsfeld eines Atoms erklären kann. Die abgeführte Energie dämpft dabei den Oszillator. Je stärker die Dämpfung ist, das heisst, je kürzer die Lebensdauer ist, desto breiter wird das Frequenzspektrum sein.
Folien zur Vorlesung vom 13. 07. 2009: PDF | |
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Bild einer ebenen Welle
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Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle des elektromagnetischen Feldes ist durch
![]() | (6.21) |
gegeben. Der Vektor , der , gibt die Ausbreitungsrichtung
an, der Betrag
= k =
heisst die Wellenzahl. Bei
elektromagnetischen Wellen im Sichtbaren kann man
alternativ auch von Lichtstrahlen sprechen. Zum Vergleich,
eine Longitudinalwelle ist eine örtliche Schwankung einer
skalaren Funktion, zum Beispiel, des Druckes, gegeben
durch
![]() | (6.22) |
Literatur | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Wellenwanne (Versuchskarte O-021) | |
Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.
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Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.
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Bei elektromagnetischen Wellen gilt
![]() | (6.23) |
Bei einer Kugelwelle ist
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