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Varianzen und Standardabweichungen

Eine Verteilungsfunktion ist nicht nur durch ihren Mittelwert, sondern auch durch die Lage-und Dispersionsgrössen gegeben. Wir haben gesehen, dass der arithmetische Mittelwerte(Mittelwerteoben) eine solche Grösse ist. Die Lagegrössen müssen die folgenden Postulate erfüllen:

• Die Schätzung soll im Falle einer unendlich grossen Stichprobe den Wert der Grundgesamtheit annehmen.
• Die beste Schätzung ist die mit der kleinsten Streuung, d.h. mit der kleinsten Fehlerabweichung.

Als Lagegrössen kommen in Frage:

• Der arithmetische Mittelwerte(Definition des Mittelwertes siehe Abschnitt 3.2) $\bar{x} =2.583030303$
• Das geometrische Mittel

  $$G(x)=\sqrt[A]{\prod\limits_{i=1}^{n}x_i^{a_i}}=2.58292652$$ (3.6)

  
  
  wobei $A=\sum A_i$ ist.
• Das reziproke Mittel
  

  $$\frac{1}{R(x)} = \frac{1}{a}\sum\limits_{i=1}^n \frac{A_i}{x_i}$$ (3.7)

  $$R(x) = 2.58282275$$

  
  
  wobei wieder $A=\sum A_i$ ist.
• Der Median ist der Wert, bei dem gleich viele Werte links und rechts davon liegen. Hier ist $M(x)=2.58$

Der Median ist besonders dann zu verwenden, wenn die Stichprobe eine grosse Streuung aufweist. Wenn aus anderen Daten bekannt ist, dass nicht alle Messwerte die gleiche Güte haben, kann man die A; auch als Gewicht benutzen. Hier hatten wir die Anzahl Messwerte pro Klasse als Güte des Messwertes genommen.

Es ist einsichtig, dass man zusätzlich versucht, die Breite einer Verteilung zu charakterisieren. Diese Grössen heissen Dispersionsgrössen. Man verwendet:

• Den durchschnittlichen Fehler:

  $$d = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^n A_i\left\vert\bar{x}-x_i\right\vert= 0.01737374$$ (3.8)

  
  

• Die Varianz:

  $$\sigma^2=\frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^n A_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2= 0.00020761$$ (3.9)

  
  
  Wenn man die Varianz bezüglich eines anderen Wertes $B$ bildet, so gilt mit
  

  $$\sigma^2(B) = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^n A_i\left(x-B\right)^2$$ (3.10)

  $$\sigma^2(0) = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^n A_i\left(x_i\right)^2$$

  $$\sigma^2(\bar{x}) = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^n A_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2$$

  
  
  die Gleichung

  $$\sigma^2(B) = \sigma^2(\bar{x})+\left(B-\bar{x}\right)^2$$ (3.11)

  
  
  Da dies alles positiv definite Grössen sind, ist die Varianz minimal, wenn sie bezüglich des arithmetischen Mittelwertes $\bar{x}$ berechnet wird.

Wenn wir eine kontinuierliche Verteilung $f(x)$ haben und $p(x)$ die Gewichtsfunktion ist, gilt:

• Arithmetischer Mittelwert:

  $$\bar{x}=\left< x \right> = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot p(x) \cdot f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) \cdot f(x) dx}$$ (3.12)

  
  

• Varianz:

  $$\sigma^2(x) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x-\left< x\right>\right)^2 \cdot p(x) \cdot f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) \cdot f(x) dx}$$ (3.13)

  
  

• allgemein gilt: Der mit der Verteilungsfunktion $f(x)$ und Gewichtsfunktion $p(x)$ bewertete Mittelwert der Funktion $h(x)$ ist

  $$\overline{h(x)}=\left< h(x) \right> = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)\cdot p(x) \cdot f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) \cdot f(x) dx}$$ (3.14)

  
  

• Die Varianz der Funktion $h(x)$ ist

  $$\sigma^2\left(h(x)\right) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\left(h... ...\right)^2 \cdot p(x) \cdot f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) \cdot f(x) dx}$$ (3.15)

  
  

Shepard gibt an, dass ein besserer Wert für die Varianz erhalten wird bei in Klassen eingeteilten Messgrössen, wenn man die folgende Formel verwendet.

$$\sigma^2 = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\left(x-\left< x\right>\right)^2-\frac{h^2}{12}$$ (3.16)

wobei $h$ die Klassenbreite ist. In unserem Falle wäre $\sigma^2\approx 0.00017428$ .