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Da der Mittelwert der Grundgesamtheit,
, im allgemeinen nicht bekannt ist, wird die berechnete Varianz nicht
die Varianz der Grundgesamtheit sein. Wir versuchen nun den besten Schätzwert für die Varianz zu berechnen. Nehmen
wir an, wir würden
kennen. Dann gilt
![$\displaystyle \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\left(x_i-\mu\right)^2= \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\left(x_i-m+m-\mu\right)^2$](img51.gif) |
(3.17) |
wobei
der Mittelwert der gemessenen
ist.
Im folgenden setzen wir alle
und
. Dann ist
. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir
mit
erhält man
![$\displaystyle \hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-m\right)^2...
...(x_i\right)^2 = \left<\left(x-\left< x\right>\right)^2\right>+\left< x\right>^2$](img63.gif) |
(3.19) |
Mit
![$\displaystyle \left< x \right>^2=\frac{1}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\rig...
...its_{i=1}^n x_i^2\right)=\frac{1}{n}\left< x^2 \right>=\frac{\hat{\sigma}^2}{n}$](img64.gif) |
(3.20) |
wird
![$\displaystyle \sigma^2\approx\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \equiv s^2$](img65.gif) |
(3.21) |
Die Grösse
ist der mittlere Fehler einer Einzelmessung. Der Übergang von
nach
ist zu
Verstehen als der Verlust eines Freiheitsgrades. Da wir den Mittelwert der Grundgesamtheit
nicht kennen,
muss die Stichprobe zur Bestimmung von
herhalten. Dies ergibt eine neue Beziehung zwischen den Datensätzen,
reduziert alsodie Anzahl Freiheitsgrade.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm