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Mittlerer Fehler und Varianz

Da der Mittelwert der Grundgesamtheit, $\mu$, im allgemeinen nicht bekannt ist, wird die berechnete Varianz nicht die Varianz der Grundgesamtheit sein. Wir versuchen nun den besten Schätzwert für die Varianz zu berechnen. Nehmen wir an, wir würden $\mu$ kennen. Dann gilt

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\left(x_i-\mu\right)^2= \frac{1}{A}\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\left(x_i-m+m-\mu\right)^2$$ (3.17)

wobei $m= \left< x\right>= \frac{1}{A}\sum_{i=0}^n A_i x_i$ der Mittelwert der gemessenen $x_i$ ist.

Im folgenden setzen wir alle $A=l$ und $\mu=0$. Dann ist $A=n$. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-m\right)^2 + \frac{1}{n... ...\right)^2+ \frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-m\right)\left(m-\mu\right)$$ (3.18)

$$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x-m\right)^2 + \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}m^2+ \frac{2m}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x-m\right)$$

$$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-m\right)^2 + m^2$$

mit $m= \left<x\right>\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n x_i$ erhält man

$$\hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-m\right)^2... ...(x_i\right)^2 = \left<\left(x-\left< x\right>\right)^2\right>+\left< x\right>^2$$ (3.19)

Mit

$$\left< x \right>^2=\frac{1}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\rig... ...its_{i=1}^n x_i^2\right)=\frac{1}{n}\left< x^2 \right>=\frac{\hat{\sigma}^2}{n}$$ (3.20)

wird

$$\sigma^2\approx\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \equiv s^2$$ (3.21)

Die Grösse $s$ ist der mittlere Fehler einer Einzelmessung. Der Übergang von $n$ nach $n-1$ ist zu Verstehen als der Verlust eines Freiheitsgrades. Da wir den Mittelwert der Grundgesamtheit $\mu$ nicht kennen, muss die Stichprobe zur Bestimmung von $m$ herhalten. Dies ergibt eine neue Beziehung zwischen den Datensätzen, reduziert alsodie Anzahl Freiheitsgrade.