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Mittlerer Fehler des Mittelwertes

Bei verschiedenen Stichproben schwanken der Mittelwert und die Varianz. Wenn wir für die Berechnung des Mittelwertes die Schreibweise

$$\left< y \right> = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n y_i$$ (3.22)

verwenden, und für den Erwartungswert

$$E\left(g\left(x\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^n p(x_i) g(x_i)$$ (3.23)

verwenden, wobei $\sum_{i=1}^n p(x_i)=1$ sein soll, dann gilt bei gleicher Grundgesamtheit für alle $x_i$, dass sie den Erwartungswert $E(x_i)=\mu$ und $E((x_i-\mu)^2)=\sigma^2$ ist. Wenn wir den Mittelwert der Messwerte, $m$ einsetzen,
erhalten wir auch $E(m)=\mu$. Für die Varianz gilt auch

$$\sigma_m^2 = E\left[\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i -\mu\right]^2$$ (3.24)

$$ = E\left[\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(x_i -\mu\right)\right]^2$$

$$ = \frac{1}{n^2} \sum\limits_{i=1}^n E\left[\left(x_i -\mu\right)^2\... ... \\ \end{array}}^n E\left[\left(x_i -\mu\right)\left(x_i -\mu\right)\right]$$

Wenn die Messdaten statistisch unabhängig sind, so ist der zweite Term $\frac{1}{n^2} \sum\limits_{\scriptsize\begin{array}{c} i=1 \\ j=1 \\ i ... ...end{array}}^n E\left[\left(x_i -\mu\right)\left(x_i -\mu\right)\right]\approx 0$ und wir erhalten

$$\sigma_m^2 = \frac{1}{n^2} n E\left[\left( x_i -\mu\right)^2\right]=\frac{\sigma^2}{n}$$ (3.25)

der mittlere Fehler $s_{m}$ des Mittelwertes ist also um den Faktor $\sqrt{n}$ kleiner als der mittlere Fehler der Einzelmessung

$$s_m = \frac{s}{\sqrt{n}}$$ (3.26)

Daraus lernt man, dass, um ein Resultat doppelt so genau zu erhalten, viermal mehr Messungen durchgeführt werden müssen.