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Robuste numerische Berechnung von Mittelwerten und Varianzen

Was ist zu tun bei der Berechnung der Varianz und der höheren Momente, wenn neue Messwerte hinzukommen?

Wir betrachten die Varianz für $n$ Messwerte als Beispiel.

$\displaystyle \sigma_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\left< x \right>\right)^2$ (4.31)

Wir formen um
$\displaystyle \sigma_n^2$ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\left< x \right>\right)^2$ (4.32)
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2+\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left< x\right>^2
-2\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\left<x\right>$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2+\left< x\right>^2\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}1
-2\left<x\right>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2+\left< x\right>^2
-2\left<x\right>\left<x\right>$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2
-\left<x\right>^2 =$  
$\displaystyle \sigma_n^2$ $\displaystyle = $ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)^2$  

Bei dieser Formel kann, wenn ein Messwert hinzugefügt wird, einfach die beiden Summen erhöht und dann neu gerechnet werden. Das Problem ist, dass die Beiden Summanden sehr gross werden, dass also numerische Auslöschung eintritt.



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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm