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Bei radioaktiven Atomen ist die Anzahl in einer bestimmten Zeit zerfallender Kerne proportional zur Gesamtzahl der
Kerne. Es gilt also
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(5.62) |
Daraus folgt das Zerfallsgesetz
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(5.63) |
Anstelle der Zerfallskonstante wird meistens die Halbwertszeit
angegeben. Unter den
folgenden Annahmen kann man die dazugehörige Verteilungsfunktion ableiten.
- Die Zahl der radioaktiven Kerne sei sehr hoch (Diese Forderung wird meistens sehr gut erfüllt).
- Die Anzahl der Zerfälle werde in jeweils konstanten Intervallen bestimmt.
- Die Zerfallswahrscheinlichkeit
sei in jedem Messintervall gleich, was
gleichbedeutend ist mit
.
Viele Stösse ergeben nun eine Folge von Stosszeiten (
). Wir berechnen nun den
Erwartungswert
. Mit der Zerfallswahrscheinlichkeit (proportional zu und ) wird
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(5.64) |
Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl von Ereignissen im Messintervall kann aus der
Binomialverteilung durch einen Grenzübergang nach unendlich (
) berechnet werden. Wir verwenden die Rekursionsformel für die Binomialverteilung
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(5.65) |
Daraus entsteht die Rekursionsformel für die Poisson-Verteilung
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(5.66) |
Mit der Normierungsbedingung
bekommt man
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(5.67) |
Und daraus die Poisson-Verteilung
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(5.68) |
Die Poisson-Verteilung hat die folgenden Eigenschaften (erhalten aus dem Vergleich mit der Binomialverteilung):
- Mittelwert
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(5.69) |
- Varianz
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(5.70) |
(da konstant ist und gegen geht!)
- Die Poisson-Verteilung ist normiert.
- Die Poisson-Verteilung hat nur einen Parameter, nämlich den Mittelwert
- Der relative mittlere Fehler ist
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(5.71) |
Die Poisson-Verteilung findet man immer dann, wenn ein sehr unwahrscheinliches Ereignis bei einer grossen Zahl
Versuchen betrachtet wird. Neben Atomkernen sind auch die Ankunftszeiten von Photonen und Elektronen bei sehr
geringem Fluss Poisson-verteilt.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm