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Poisson-Verteilung

Bei radioaktiven Atomen ist die Anzahl in einer bestimmten Zeit zerfallender Kerne proportional zur Gesamtzahl der Kerne. Es gilt also

$\displaystyle \frac{dn}{dt}=-\lambda n$ (5.62)

Daraus folgt das Zerfallsgesetz

$\displaystyle n(t) = n_0e^{-\lambda t}$ (5.63)

Anstelle der Zerfallskonstante wird meistens die Halbwertszeit $T_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ angegeben. Unter den folgenden Annahmen kann man die dazugehörige Verteilungsfunktion ableiten.

Viele Stösse ergeben nun eine Folge von Stosszeiten ( $k_1,\;k_2,\;k_3,\;\ldots$). Wir berechnen nun den Erwartungswert $E(k)=\mu$. Mit der Zerfallswahrscheinlichkeit $p$ (proportional zu $\lambda$ und $\Delta t$) wird

$\displaystyle E(k) = \left< k\right> = \mu = np$ (5.64)

Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl $k$ von Ereignissen im Messintervall $\Delta t$ kann aus der Binomialverteilung durch einen Grenzübergang nach unendlich ( $n\rightarrow\infty,\; p\rightarrow 0,\;q\rightarrow
1,\; np=\mu = \mathrm{const}$) berechnet werden. Wir verwenden die Rekursionsformel für die Binomialverteilung

$\displaystyle B(k,n,p) = B(k-1,n,p)\left(\frac{np}{kq}-\frac{(k-1)p}{kq}\right)$ (5.65)

Daraus entsteht die Rekursionsformel für die Poisson-Verteilung

$\displaystyle P(k,\mu) = P(k-1,\mu)\frac{k}{\mu}$ (5.66)

Mit der Normierungsbedingung $\sum_{k=0}^\infty P(k,\mu)=1$ bekommt man

$\displaystyle P(k,\mu)= \sum\limits_{k=0}^\infty P(k=0,\mu)\frac{\mu^k}{k!} =P(k=0,\mu)\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\mu^k}{k!} = P(k=0,\mu)e^{\mu}=1$ (5.67)

Und daraus die Poisson-Verteilung

$\displaystyle P(k,\mu)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$ (5.68)

Die Poisson-Verteilung hat die folgenden Eigenschaften (erhalten aus dem Vergleich mit der Binomialverteilung):

Die Poisson-Verteilung findet man immer dann, wenn ein sehr unwahrscheinliches Ereignis bei einer grossen Zahl Versuchen betrachtet wird. Neben Atomkernen sind auch die Ankunftszeiten von Photonen und Elektronen bei sehr geringem Fluss Poisson-verteilt.


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm