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Lorentz-Verteilung

Die Lorentz-Verteilung tritt in optischen Spektren auf. Sie ist da die universelle Verteilungsfunktion. Sie wird in allgemeiner Form so geschrieben:

$$L(x,\mu,\Gamma) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\frac{\Gamma}{2}}{\left(x-\mu\right)^2+\left(\frac{\Gamma}{2}\right)^2}$$ (5.72)

Die Lorentz-Verteilung besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Sie ist zu $1$ normiert.
• Der Maximalwert ist ${2}/{\pi\Gamma}$ bei $x=\mu$
• Sie ist symmetrisch, alle ungeraden Momente sind also null.

• Die höheren geraden Momente, insbesondere die Varianz, sind nicht definiert, da die entsprechenden Integrale divergieren.

• Die charakteristische Dispersionsgrösse ist die Halbwertsbreite $\Gamma$.

  $$L\left(\mu\pm \frac{\Gamma}{2}\right) = \frac{1}{2}L\left(\mu,\mu,\Gamma\right)$$ (5.73)