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Chi-Quadrat-Test ($\chi ^2$-Test)

Beim $\chi ^2$-Test liefert ein allgemeines Kriterium für die Übereinstimmung der Grundgesamtheit mit der Stichprobe. Der $\chi ^2$-Test taugt für jede Verteilungsfunktion, ist also modellfrei. Das Vorgehen ist folgendermassen:

1. Man ordnet die Messwerte in Klassen, so dass in jede Klasse mindestens $5$ Werte fallen. Die Anzahl Beobachtungen sei $f_{ex}$
2. Es sollen mindestens $M \gg 6$ Klassen vorhanden sein.
3. Aus der Hypothese, der Verteilungsfunktion, die man testen möchte, berechnet man die erwartete Häufigkeit $f_{th}$ für jede Klasse, das heisst, man berechnet aus der Klassenbreite, dem Klassenmittelwert und der Dichte der Verteilungsfunktion die erwartete Häufigkeit $f_{th}$.
4. Normierung:

   $$\sum\limits_{j=1}^{M} f_{th,j}=N$$ (6.84)

   
   

5. Die Grösse

   $$\chi^2 \equiv \sum\limits_{j=1}^{M} \frac{\left(f_{th,j}-f_{ex,j}\right)^2}{f_{th,j}}$$ (6.85)

   
   
   ist ein integrales Mass für die statistischen Abweichungen der beobachteten Häufigkeiten.

Die Verteilungsfunktion lautet:

$$W(\chi^2) = \frac{\chi^{\nu-2}\cdot e^{-\chi^2/2}}{2^{\nu/2}\cdot \Gamma(\nu/2)}$$ (6.86)

Die kennzeichnenden Grössen sind:

$$\mu = \nu$$ (6.87)

$$\sigma^2 = 2 \nu$$

$$\gamma_1 = \sqrt{\frac{8}{\nu}} \nu$$

$$\gamma_2 = 3+\frac{12}{\nu}$$

Die $\chi ^2$-Verteilungsfunktion ist verwandt mit der Poisson-Verteilung: sie geht für grosse $\nu$ in die Normalverteilung über. Wir rechnen nun die Wahrscheinlichkeit für den $\chi ^2$-Wert aus der Probe aus. Der Test, ob die Stichprobe zur hypothetischen Grundgesamteit passt, gilt als bestanden, wenn die Wahrscheinlichkeit $>5\%$ ist. Für die Anzahl Freiheitsgrade gilt:

$$\nu=M-K=\textrm{Anzahl Klassen}-\textrm{Anzahl Beschr\uml {a}nkungen}$$ (6.88)

Solche Beschränkungen sind die Normierung von $f_{th}$ und die Mittelwertbildung. Für den $\chi ^2$-Test ergibt sich demnach

• Normal Verteilung: $\nu=M-3$
• Poisson-Verteilung: $\nu=M-2$
• Modellverteilungen mit a priori-Annahmen über $\mu$ und $\sigma$: $\nu=M-1$.

Wenn ich bei einer Stichprobe mit $8$ Messwerten ausrechne, dass der Mittelwert $\left<x\right> = 14.128768432$ und die Standardabweichung $s_m = 0.142676871234$ ist, so wäre eine Resultatangabe von

$$\left< x\right> = 14.128768432\pm 0.142676871234$$

vollkommen unsinnig. Ist der Fehler nämlich normalverteilt, so erhält man für $\sigma_s/s \approx 25\%$. Also sind $4$ Stellen für den Mittelwert und $2$ für die Abweichung angebracht:

$$\left< x\right> = 14.12 \pm 0.14$$