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Fehlerfortpflanzung

Im allgemeinen besteht ein Resultat eines physikalischen Experimentes nicht aus einer einzelnen Messgrösse. Wir können also die oben abgeleiteten Verfahren nicht unbesehen auf beliebige experimentelle Resultate ausdehnen. Wie wirken sich also die Einzelfehler auf die Gesamtheit aus?

Als Beispiel soll die Bestimmung einer Gitterkonstanten $a$ nach der Debye-Scherrer-Methode besprochen werden. Röntgenstrahlen mit der Wellenklänge $\lambda$ fallen auf eine grössere Anzahl kleiner Kristallite mit den Miller'sehen Indizes $h,k,l$. Für den Glanzwinkel gilt:

$$\sin\Theta = \frac{\lambda}{2a}\sqrt{h^2+k^2+l^2}$$ (7.89)

oder

$$a = \frac{\lambda}{2\sin\Theta}\sqrt{h^2+k^2+l^2}$$ (7.90)

Es treten dabei die folgenden Fehler auf:

1. Die Wellenlänge $\lambda$ ist nur auf $\pm s_\lambda$ bestimmt.
2. Der Wert für die Wellenlänge stammt aus einem alten Tabellenwerk, ist also nicht mehr korrekt.
3. Die Korrektur für die Adsorption der Probe wird vernachlässigt.
4. Der Winkel $\Theta_{h,k,l}$ wird $n$-mal gemessen: der Mittelwert sei $\left<\Theta_{h,k,l}\right>$ und der mittlere Fehler sei $s_{\Theta_{h,k,l}}$.

(a), (b) und (c) sind systematische Fehler. Bei (b) und (c) lassen sich Vorzeichen und Grösse des Fehlers bestimmen. Bei (a) ist der Fehler für unsere Messung ein systematischer, beruht aber ursprünglich auf der Bestimmung eines zufälligen Fehlers, so dass $\pm s_\lambda$ zur Abschätzung des systematischen Fehlers verwendet werden kann.