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Unterabschnitte

• Rechenregeln

Systematische Fehler

Die direkt gemessenen Grössen $a_1,\; a_2,\; a_3,\; \ldots a_n$ seien mit den systematischen Fehlern $h_1,\; h_2,\; h_3,\; \ldots h_N$ verfälscht. Gesucht ist die wahre Grösse $A$, die eine Funktion der $N$ gemessenen Werte ist. Wir haben aber die verfälschte Grösse $A_{0}$ bestimmt. Für sie gilt, nach einer Taylor-Entwicklung

$$A(a_1+h_1,a-2+h_2,\ldots,a_N+h_n) = A(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)+$$ (7.91)

$$ \frac{1}{1!}\sum\limits_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial A}{\partial a_k}\right)\cdot h_k+$$

$$ \frac{1}{2!}\sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{\ell=1}^{N}\left(\f... ..._k}\right)\left(\frac{\partial A}{\partial a_\ell}\right)\cdot h_k\cdot h_\ell+$$

$$ \cdots$$

wobei bei allen Ableitungen wie üblich alle Variablen, ausser der, nach der abgeleitet wird, konstant zu halten sind.

Da in aller Regel die Fehler klein gegen die gemessenen Werte sind, darf mit der linearen Näherung gerechnet werden. Also lautet das Fehlerfortpflanzungsgesetz für systematische Fehler

$$\Delta A = A(a_1+h_1,a-2+h_2,\ldots,a_N+h_n)- A(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)$$ (7.92)

$$ = \sum\limits_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial A}{\partial a_k}\right)\cdot h_k$$

Beim Übergang zu den relativen Fehlern erhält man:

$$\frac{\Delta A}{A} = \sum\limits_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{A}\cdot \frac{\partial A}{\partial a_k}\right)\cdot h_k$$ (7.93)

Rechenregeln

Summe oder Differenz:

Wenn $A=\alpha\cdot a_1 +\beta\cdot a_2$ ist, dann ist $\Delta A = \alpha \cdot h_1 +\beta \cdot h_2$

Produkte:

Für $A=\alpha\cdot a_1\cdot a_2$ ergibt sich $\Delta A = \alpha \cdot a_2\cdot h_1 + \alpha\cdot a_1\cdot h_2$. Einfacher ist die Gleichung mit den relativen Fehlern: $\frac{\Delta A}{A} = \frac{h_1}{a_1}+\frac{a_2}{h_2}$

Beliebige Potenzen:

Bei beliebigen Potenzen gilt für $A=\alpha\cdot a_1^p\cdot a_2^q$ dass der relative Fehler $\frac{\Delta A}{A} = p\cdot\frac{h_1}{a_1}+q\cdot\frac{h_2}{a_2}$ ist. (Dies erhält man mit der logarithmischen Ableitung)

Quotienten:

Für $A=\alpha\frac{ a_1^p}{ a_2^q}$ ergibt sich: $\frac{\Delta A}{A} = p\cdot\frac{h_1}{a_1}-q\cdot\frac{h_2}{a_2}$

Beim Beispiel in der Einleitung erhält man für die Auswirkung der $\lambda$-Fehler:

$$\frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$$

und für den Fehler der Gitterkonstante

$$\Delta a = \frac{- \lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}}{2\sin^2\Theta}\cdot\cos\Theta\cdot\Delta\Theta$$

oder

$$\frac{\Delta A}{A}=-\cot\Theta \cdot \Delta\Theta$$

Daraus schliesst man, dass bei $90^\circ$ (Fall der Rückstreuung) der Fehler minimal ist. Hier ist ein Beispiel, das zeigt, dass mit einer geschickten Wahl der experimentellen Anordnung der Messfehler minimal gemacht werden kann.