Unterabschnitte

Zentralbewegung


Winkelgeschwindigkeit





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-052}
Definition der Drehwinkel bei einer Zentralbewegung





$\displaystyle ds$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\left( r\right) dt \notag$ (3.267)
$\displaystyle d\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \theta \left( t+dt\right) -\theta \left( t\right)$ (3.268)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{ds}{r}$ (3.269)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{vdt}{r}$ (3.270)

Der Umfang (Weg für 1 Umdrehung) im Bogenmass ist $ 2\pi $

Def: $ \frac{d\theta }{dt}=\omega $: Winkelgeschwindigkeit


Winkelbeschleunigung

$\displaystyle \alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=\ddot{\theta}$ (3.271)

Bemerkung: Es gilt

$\displaystyle \omega \left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega _{0}+\alpha t$ (3.272)
$\displaystyle \theta \left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \theta _{0}+\omega _{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$ (3.273)
$\displaystyle \omega$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{2\alpha \theta }$ (3.274)

wenn $ \omega \left( 0\right) =0$; $ \theta \left( 0\right) =0$ und $  \alpha =const.$

Die Gleichungen für die Zentralbewegung sind analog zu denen der Kinematik in einer Dimension.

Vektorcharakter der Drehbewegung

Eine Drehbewegung ist durch die Richtung ihrer Drehachse definiert





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{mechanik-053}
Definition des Winkelgeschwindigkeitsvektors $ \vec{\omega}$




Definition: $ \vec{\omega}$ zeigt in Richtung des Daumens der rechten Hand, wenn die Finger in die Drehrichtung zeigen. Rechte Handregel





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{mechanik-054}
Transformation eines Drehvektors an einem Spiegel




Der gespiegelte Drehvektor entspricht dem Original: Diese Art Vektoren heissen Axialvektoren.

Ortsvektoren und Drehvektoren transformieren anders als Ortsvektoren.


Drehmoment

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Drehmomentenscheibe (Versuchskarte M-071)

Definition:





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-055}
Definition des Drehmomentes




$\displaystyle \vec{T}=\vec{r}_{0m}\times \vec{F}$ (3.275)

heisst mechanisches Drehmoment.

Wir betrachten das Drehmoment für eine Zentralbewegung bei einer konstanten punktförmigen Masse. Dann ist

$\displaystyle T= r\cdot F$

und

$\displaystyle F= m\dot{v} = mr\dot{\omega}$

oder

$\displaystyle T=r\cdot mr\dot{\omega} = \left(m r^2\right)\dot{\omega}= I\dot{\omega}$

wobei $ I= mr^2$ das Trägheitsmoment eines Massenpunktes $ m$ im Abstand $ r$ von der Drehachse ist.

Anwendung Hebelgesetz





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-056}
Hebelgesetz




Im Gleichgewicht ist

$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{T}\notag$ (3.276)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{T}_{1}+\vec{T}_{2} \notag$ (3.277)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{r}_{01}\times \vec{F}_{1}+\vec{r}_{02}\times \vec{F}_{2}$ (3.278)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-057}
Eindimensionale Formulierung des Hebelgesetzes




im eindimensionalen Falle gilt

$\displaystyle 0=x_{1}\left( -F_{1}\right) +\left( -x_{2}\right) \left( -F_{2}\right)$ (3.279)

und

$\displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}$ (3.280)


Drall, Drehimpuls

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Drehimpulssatz (Versuchskarte M-063)





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-058}
Definition des Dralls oder des Drehimpulses.





$\displaystyle \vec{L}_{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{r}_{0m}\times \vec{p}\notag$ (3.281)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{r}_{0m}\times m\vec{v}$ (3.282)

Drallsatz

$\displaystyle \vec{T}_{0}=\frac{d}{dt}\vec{L}_{0}$ (3.283)

Voraussetzung $ \vec{T}_{0}$ und $ \vec{L}_{0}$ beziehen sich auf das gleiche Zentrum 0


Beweis:

$\displaystyle \frac{d}{dt}\vec{L}_{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( \vec{r}_{0m}\times
\vec{p}\right) \notag$ (3.284)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\vec{r}_{0m}\times \vec{p+r}_{0m}\times \frac{d\vec{p
}}{dt}$ (3.285)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{r}_{0m}\times \vec{F}_{m}=\vec{T}_{0}$ (3.286)


da $ \frac{d}{dt}\vec{r}_{0m}=\vec{v}$ ist.

Drehmoment von Zentralkräften

Definition: wenn $ \vec{F}\parallel \vec{r}_{0m}$ dann ist $ \vec{T}_{0}=\vec{r}_{0m}\times \vec{F}=0$

Bei Zentralkräften ist: $ \vec{L}_{0}=$konstant, da $ \vec{T}_{0}=0=
\frac{d\vec{L}_{0}}{dt}$

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm