Gravitation

Unter Gravitation versteht man die gegenseitige Anziehung der Körper durch ihre Massen.

Die Keplerschen Gesetze

• N.Kopernikus (1473-1543) postuliert heliozentrisches System

• T.Brahe: (1546-1601) erste präzise Messungen

• J. Kepler (1571-1630) Interpretation und Gesetze

1. Gesetz (1609) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.

2. Gesetz (1609) Jeder Strahl von der Sonne zu den Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

3. Gesetz (1619) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen ihrer Bahnen um die Sonne.

Beweis: des 2. Gesetzes

Es gibt keine äusseren Kräfte, deshalb gibt es auch keine Drehmomente. Aus $\vec{T}=0$ bekommt man : $\vec{L}_{0}=const.$

2. Keplersches Gesetz

Behauptung: Für die Fläche $A\left( t\right)$ gilt

$$A\left( t\right) =\frac{L_{0}}{2m}\cdot t$$ (3.287)

Beweis:

$$\frac{\vec{L}_{0}}{2mo}dt = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times \vec{v}\right) dt \notag$$ (3.288)

$$ = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times \vec{v}dt\right) \notag$$ (3.289)

$$ = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times d\vec{r}\right) =d\vec{A}$$ (3.290)

Bemerkung: bei einer ebenen Bewegung ist immer

$$d\vec{r} \perp \vec{L}$$ (3.291)

$$\vec{r} \perp \vec{L}$$ (3.292)

d.h. das 2. Keplersche Gesetz entspricht der Drehimpulserhaltung

Versuch zur Vorlesung: Planetenbewegung (Versuchskarte M-109)

Newtonsche Gravitationsgesetz

Versuch zur Vorlesung: Gravitationswaage (Versuchskarte M-005)

Newtonsches Gravitationsgesetz

Die Kraft der Masse $1$ auf die Masse $2$ ist $\vec{F}_{21}$, also

$$\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\vec{r}_{12}}{ r_{12}^{3}}$$ (3.293)

Betragsmässig:

$$F_{12}=F_{21}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}$$ (3.294)

Dabei ist $G=6.6742\cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg s^2}$ die Gravitationskonstante. Das Newtonsche Gravitationsgesetz definiert die schweren Masse, im Gegensatz zum 2. Newtonschen Gesetz der Bewegung ( $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ ), das die träge Masse definiert.

Gravitationsfeld eines Massenpunktes

Testmasse $m_{0}$

$$m_{0}\Rightarrow \vec{F}\left( \vec{r}\right) =-Gm\frac{\vec{r}}{ r^{3}}m_{0}$$ (3.295)

Feldvektor

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) =\frac{\vec{F}\left( \vec{r}\right) }{m_{0}}=-Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}$$ (3.296)

$\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes

$\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ ist unabhängig von der Testmasse $m_{0}$

Behauptung: $\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ist konservativ

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( -Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) \notag$$ (3.297)

$$ = -Gm {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( \frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) \notag$$ (3.298)

$$ = -Gm\cdot \vec{\nabla }\times \left( \begin{array}{c} \frac{x}... ... \frac{y}{r^{3}} \\ \frac{z}{r^{3}} \end{array}\right) \notag$$ (3.299)

$$ = \left( \begin{array}{c} -3\frac{z}{r^{4}}\frac{\partial r}{\p... ...{r^{4}}\frac{ \partial r}{\partial z} \end{array}\right) \notag$$ (3.300)

$$ = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$$ (3.301)

da gilt

$$\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{r^3} = \frac{1}{r^3}\frac{\partial y}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r^3}$$

$$= 0 -3y\frac{1}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\; \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\; \frac{x}{r}$$

Damit ist

$$\frac{-3z}{r^3}\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{-3z}{r^3}\cdot \frac{y}{r} = \frac{-3y}{r^3}\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{-3y}{r^3}\frac{z}{r} \text{und zyklisch}$$ (3.302)

Das heisst, es existiert eine potentielle Energie

Def.

$$E_{pot}\left( \vec{r}\right) =-Gmm_{0}\frac{1}{r}$$ (3.303)

wobei wir den Energienullpunkt ins Unendliche legen.

$$E_{pot}\left( \infty \right) =0$$

Beweis: Berechnung der Arbeit gegen die Feldkraft längs einer Feldlinie

Berechnung der Kraft

Bei der Berechnung der potentiellen Energie muss man berücksichtigen, dass die Kraft $\vec{F}$ und $d\vec{r}$ entgegengesetzt angeordnet sind. Da das Gravitationsfeld konservativ ist, können wir eine ganz spezielle Bahn verwenden. Zwischen zwei beliebigen Punkten $\vec{r}$ und $\vec{r}_0$ lassen wir die Bahn von $\vec{r}$ bis zu der Kugelschale um den Massenpunkt $m$, auf der $\vec{r}_0$ liegt, laufen und führen sie dann auf der Kugelschale zu $\vec{r}_0$. Auf dem auf der Kugelschale liegenden Teil ist $\vec{F}_G$ senkrecht auf $d\vec{r}$, so dass $\vec{F}_G \cdot d\vec{r}=0$ ist: dieser Bahnabschnitt trägt nichts zur potentiellen Energie bei.

Also haben wir

$$E_{pot} =W\left( \vec{r}_{0},\vec{r},b\right) = -W\left( \vec{r},\vec{r}_{0},b\right)$$

$$=-\int\limits_{\vec{r}}^{\vec{r}_{0}}-\vec{F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r} = +\int\limits_{\vec{r}}^{\vec{r}_{0}}-Gmm_{0}\frac{\vec{r}}{r_{3}} d\vec{r}$$

$$=-Gmm_{0}\int\limits_{r}^{r_{0}}\frac{dr}{r^{2}} = \left.Gmm_{0}\frac{1}{r}\right\vert _r^{r_0}$$

$$= -\frac{Gmm_0}{r}+\frac{Gmm_0}{r_0}$$ (3.304)

Es ist üblich, den Referenzpunkt $\vec{r}_0 \rightarrow \infty$ zu setzen:

$$E_{pot}(\vec{r}) = E_{pot}(r) = \lim\limits_{r\rightarrow \infty}\left(-\frac{Gmm_0}{r}+\frac{Gmm_0}{r_0}\right) = -\frac{Gmm_0}{r}$$ (3.305)

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Die potentielle Energie hängt von der Testmasse $m_{0}$ ab.

Wir definieren das Testmassen-unabhängige Gravitationspotential

$$\phi \left( \vec{r}\right) =\frac{E_{pot}\left( \vec{r}\right) }{m_{0}}$$ (3.306)

dann gilt:

$$\phi \left( \vec{r}\right) = -G\frac{m}{r} \notag$$ (3.307)

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right) \notag$$ (3.308)

$$\vec{F}\left( \vec{r}\right) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} E_{pot}\left( \vec{r}\right)$$ (3.309)

Oberflächenintegral über eine Kugel

$_{}$

Oberflächenintegrale: Definition der Grössen

Normalenvektor $\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}$

Oberflächenelement in Kugelkoordination

$$da=r\sin \theta d\varphi rd\theta$$ (3.310)

dabei ist $r\sin \theta d\varphi$ die horizontale Seite des Flächenelementes, $rd\theta$ die vertikale Seite.

Koordinaten des Oberflächenelementes

$$\int\limits_{Kugel}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n\cdot da } \vec{=} \int -Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}\frac{\vec{r}}{r}\cdot r^{2}\sin \theta d\theta d\varphi \notag$$ (3.311)

$$ = -Gm\int\limits_{Kugel}\sin \theta d\theta d\varphi \notag$$ (3.312)

$$ = -2\pi Gm\int\limits_{0}^{\pi}\sin \theta d\theta \notag$$ (3.313)

$$ = -4\pi Gm$$ (3.314)

also

$$\int\limits_{Kugel}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n}da=-4\pi Gm$$ (3.315)

Die in einer Kugel (beliebigen Fläche) eingeschlossene Masse kann aus dem Integral über $\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ an der Oberfläche bestimmt werden. Damit kann man über die Keplerschen Gesetze mit einer Testmasse (Satellit) die Masse eines Himmelskörpers bestimmen!

Gravitation eines Ensembles von Massenpunkten

Betrachte $n$ Massenpunkt mit $m_{k}$ an den Orten $\vec{r}_{k}$

Anordnung von Massenpunkten

Es gilt

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) = -G\sum\limits_{k=1}^{n}m_{k}\frac{ \vec{r}-\vec{r}_{k}}{\left\vert \vec{r}-\vec{r}_{k}\right\vert ^{3}} \notag$$ (3.316)

$$\phi \left( \vec{r}\right) = -G\sum\limits_{k=1}^{n}m_{k}\frac{1}{ \left\vert \vec{r}-\vec{r}_{k}\right\vert }$$ (3.317)

Da die einzelnen Teilfelder konservativ sind, ist auch das Gesamtfeld konservativ.

Oberflächenintegral

$_{}$

$$\int\limits_{S}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \vec{n}\left( S,\vec{ r}\right) da\left( S,\vec{r}\right) = -4\pi G\sum\limits_{k}m_{k}\left( \text{innerhalb von S}\right) \notag$$ (3.318)

$$ = -4\pi Gm$$ (3.319)

wobei $m$ die Masse innerhalb $S$ ist

Koordinaten zur Berechnung eines Oberflächenintegrals

Kontinuierliche Massenverteilung

Kontinuierliche Massenverteilung: gegeben durch Massendichte $\rho \left( \vec{r}\right)$

$$\rho \left( \vec{r}\right) =\underset{\Delta V\rightarrow 0}{\lim }\frac{ \Delta m\left( \vec{r}\right) }{\Delta V\left( \vec{r}\right) }$$ (3.320)

Berechnung der Gesamtmasse aus Dichte:

$$m = \int\limits_{v}\rho \left( \vec{r}\right) dV \notag$$ (3.321)

$$ = \iiint\limits_{V}\rho \left( x,y,z\right) dxdydz$$ (3.322)

In Kugelkoordinaten wäre

$$m = \iiint\limits_{V} \rho(r \theta \phi) r^2\sin(\theta) dr d\theta d\phi$$ (3.323)

Oberflächenintegral

$$\int\limits_{s}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n}\left( \... ...\left( \text{in } S\right) =-4\pi G\int\limits_{V}\rho \left( \vec{r}\right) dV$$ (3.324)

Für kontinuierliche Massenverteilungen gilt die Feldgleichungen der Gravitation

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) =-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right)$$ (3.325)

Def:

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{r=\nabla \cdot r=}\frac{\partial x}{\partial x}+ \frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}$$ (3.326)

Beweis: Nach Gauss gilt:

$$\int\limits_{s}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \vec{n}\left( \vec{r}... ...g }\left( \vec{r}\right) dV=\int\limits_{V}-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right) dV$$ (3.327)

Die Lösung der Feldgleichung ist

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) =-G\int\limits_{Raum}\rho \left( \ve... ...c{r}'\right) }{ \left\vert \left( \vec{r}-\vec{r}'\right) \right\vert ^{3}} dV'$$ (3.328)

Dabei ist $dV'$ das Volumenelement am Ort $\vec{r}'$. Die Lösung hat die gleiche Struktur wie das Gesetz für den Feldvektor der Gravitation, Gleichung (3.221) . Die ist leicht zu sehen, wenn man die Variablen wie folgt umschreibt:

$$m \rightarrow \rho(\vec{r})dV'$$

$$\vec{r} \rightarrow \vec{r}-\vec{r}'$$

$$r \rightarrow \left\vert(\vec{r}-\vec{r}'\right\vert$$

Da $\vec{g}\left( \vec{r}\right) =- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right)$ gilt

$$-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) \notag$$ (3.329)

$$ = - {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right) \notag$$ (3.330)

$$ = -\vec{\nabla }\cdot \vec{\nabla }\phi \left( \vec{r}\right) =-\Delta \phi \left( \vec{r}\right)$$ (3.331)

also

$$\Delta \phi \left( \vec{r}\right) =4\pi G\rho \left( \vec{r}\right)$$ (3.332)

heisst Poisson-Gleichung

$\Delta$ heisst Laplace-Operator:

$$\vec{\nabla \cdot \nabla =}\left( \begin{array}{c} \frac{\partial... ...^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}$$ (3.333)

Formal ist die Lösung der Poissongleichung

$$\phi \left( \vec{r}\right) =-G\int\limits_{Raum}\rho \left( \vec{r}'\right) \frac{1}{\left\vert \left( \vec{r}-\vec{r}'\right) \right\vert }dV'$$ (3.334)

Gravitationsfeld einer Kugel

Masse einer Kugel

$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{0}$$ (3.335)

bei konstanter Dichte $\rho_{0}$

Gravitationsfeld einer homogenen Kugel

Wir unterscheiden die folgenden Fälle:

$r>R$		$g\left( r\right) =-G\frac{m}{r^{2}}$		$\phi\left( r\right) =-\frac{Gm}{r}$
$r=R$		$g\left( R\right) =-G\frac{m}{R^{2}}$		$\phi\left( r\right) =-\frac{Gm}{R}$
$r<R$		$g\left( r\right) =-G\frac{m}{R^{3}}r$		$\phi\left( r\right) =-G\frac{m}{R^{3}}\left( \frac{3}{2}R^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\right)$

Gravitationsfeld als Funktion der Distanz

Behauptung: Nur die Masse innerhalb der Kugelschale beeinflusst die Gravitationskraft

Links wird der Verlauf des Gravitationsfeldvektors gezeigt, rechts der des dazugehörigen Gravitationspotentials. Beide sind für eine massive homogene Kugel mit dem Radius 1 gerechnet.

Im Folgenden werden zwei Beweisarten gezeigt:

a)

$$-4\pi G\int\limits_{\text{Kugel, Radius }F}\rho\left( \vec{r}\rig... ...l{\uml a}che}}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot\vec{n}\left( \vec{r}\right) da$$ (3.336)

mit

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot\vec{n}\left( \vec{r}\right) ={g}\left( {r}\right) \$$

da $\vec{n}\left\Vert \vec{r}\right\Vert \vec{g}$ ist. Also ist

$$-4\pi G\underset{\text{Masse}}{\underbrace{\rho_{0}\frac{4\pi}{3}... ...ight) \ \int\limits_{\text{Kugeloberfläche}}da=g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (3.337)

Innerhalb der kugelförmigen Masse gilt also

$$g\left( r\right) =-\frac{4\pi}{3}G\rho_{0}r$$

$$=-\frac{4\pi}{3}G\rho_{0}R^{3}\frac{r}{R^{3}}$$

$$=-mG\frac{r}{R^{3}}$$ (3.338)

Ausserhalb erhalten wir

$$-4\pi G\underset{\text{Masse}}{\underbrace{\rho_{0}\frac{4\pi}{3}... ...ight) \ \int\limits_{\text{Kugeloberfläche}}da=g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (3.339)

oder

$$-4\pi Gm =g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (3.340)

$$g\left( r\right) =-\frac{Gm}{r^{2}}$$ (3.341)

Aus diesen Gleichungen kann das Potential berechnet werden.

Dazu verwendet man die Definition der potentiellen Energie für ein radialsymmetrisches Potential

$$\phi(r) = -\int\limits_\infty^r \vec{g}(r)d\vec{r}$$

Für ausserhalb bekommt man

$$\phi(r) = -\int\limits_\infty^r -\frac{Gm}{\hat{r}^2}d\hat{r} = -... ...ft(-\left(-\frac{Gm}{\hat{r}}\right)\right)\right\vert _\infty^r= -\frac{Gm}{r}$$

Innerhalb der Kugel verwendet man den Radius der Kugel $R$ als Referenz

$$\phi(r) = -\int\limits_R^r \vec{g}(r)d\vec{r}$$

und damit

$$\phi(r) = -\int\limits_R^r -mG\frac{\hat{r}}{R^{3}}d\hat{r} = -\l... ...hat{r}}{2R^3}\right)\right)\right\vert _R^r=\frac{mG}{2R^3}\left(r^2-R^2\right)$$

Für die Distanz $R$ muss das Potential kontinuierlich sein. Wir führen eine Konstante $K$ ein und setzen

$$-\frac{Gm}{R}=K-\frac{mG}{2R^3}\left(R^2-R^2\right)= K$$

Also ist für Innen das Resultat

$$\phi(r) = \frac{mG}{2R^3}\left(r^2-R^2\right) -\frac{Gm}{R} = -\frac{mG}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$$

Das Schlussresultat ist

$$\phi(r) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{Gm}{r} & \hbox{für $r\... ...frac{mG}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right) & \hbox{für $r<R$.} \\ \end{array} \right.$$ (3.342)

b)

zu Fuss

Gravitationskraft eines Kreisringes

Berechnung des Kreisringes

Symmetrie: nur $x$-Komponente betrachten

$$dF=-\frac{Gm_{0}\left( dm\right) }{s^{2}}$$ (3.343)

$$dF_{x}=dF\cos\alpha=-\frac{Gm_{0}}{s^{2}}\cos\alpha dm$$ (3.344)

Die $x$-Komponente des Feldvektors der Gravitation ist nun (betragsmässig):

$$dg_{x}=\frac{dF_{x}}{m_{0}}=-\frac{G}{s^{2}}\cos\alpha dm$$ (3.345)

Die Integration über den Feldvektor ergibt das totale Feld

$$g_{x}=-\int\limits_{Kreisring}\frac{G\cos\alpha}{s^{2}}dm=-\frac{... ...}} {s^{2}}\cos\alpha\int\limits_{Kreisring}dm=-\frac{Gm_{0}}{s^{2}}\cos\alpha m$$ (3.346)

Dabei ist $m$ die Masse des Kreisringes. $\frac{G}{s^{2}} \cos\alpha$ ist unabhängig vom Azimut. Mit

$$\cos\alpha=\frac{x}{s}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$$ (3.347)

wird

$$g_{x}=-\frac{Gmx}{\left( x^{2}+a^{2}\right) ^{3/2}}$$ (3.348)

Als nächstes berechnen wir eine Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen.

Berechnung einer Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen

Umfang eines Kreisringes:	$2\pi R \sin \theta\newline$
Breite:	$Rd\theta\newline$
Oberfläche:	$4\pi R^{2}$

Parameter des Kreisringes

Daraus ergibt sich:

$$dM=M\frac{dA}{A}=M\frac{2\pi R^{2}\sin\theta d\theta}{4\pi R^{2}}=\frac{M} {2}\sin\theta d\theta$$ (3.349)

und mit

$$dg_{R}=-\frac{Gdm}{s^{2}}\cos\alpha=-\frac{Gm\sin\theta d\theta}{2s^{2}} \cos\alpha$$ (3.350)

Es gilt weiter:

$$\theta =0..\pi$$

$$s =r-R..r+R$$

$$s^{2} =r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta$$ (3.351)

oder

$$2sds=2rR\sin\theta d\theta$$ (3.352)

Für $\cos\alpha$ gilt:

$$R^{2}=s^{2}+r^{2}-2sr\cos\alpha$$ (3.353)

oder

$$\cos\alpha=\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2sr}$$ (3.354)

also

$$dg_{R}=-\frac{GM}{2s^{2}}\frac{sds}{rR}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2sr} =-\frac{GM}{4r^{2}R}\left( 1-\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right) ds$$ (3.355)

Die Integration über $ds$ liefert

$$g_{R}=-\frac{GM}{4r^{2}R}\int\limits_{r-R}^{r+R}\left( 1-\frac{r^... ...right) ds=-\frac{GM}{4r^{2}R}\left[ s-\frac{r^{2}-R^{2}}{s}\right] _{r-R}^{r+R}$$ (3.356)

Nach dem Einsetzen erhält man

$$g_{R}=-\frac{GM}{r^{2}}$$ (3.357)

Wenn wir innerhalb der Kreisschale sind muss von $R-r$ bis $R+r$ integriert werden. Dann ist $g_{R}=0$!

Eine Kugelschale trägt zum Feldvektor der Gravitation für Punkte innerhalb nichts bei.

Den Feldvektor der Gravitation für einen Punkt innerhalb einer Vollschale kann jetzt noch durch Integration über alle eingeschlossenen Unterschalen erhalten werden, deren Radien kleiner sind als der Radius des betrachteten Punktes. An der Form des Resultates ändert sich nichts mehr.

Gewicht

Das Gewicht oder die Gewichtskraft $\vec{F}_{G}$ einer Masse $m$ wird durch die Gravitation zwischen der Erde und $m$ bewirkt.

Modell: Die Erde entspricht einer Kugel. Dann gilt an der Oberfläche

$$\frac{\vec{F}_{G}}{m}=\vec{g}\left( \vec{r}=\vec{R}\right) =-GM\frac{\vec{R}}{R^{3}}$$ (3.358)

Im Labor ist $\vec{g}=konst.$

und $E_{pot}=mgh=m\phi$

Gewichtsbedingte Bewegung

Freier Fall:

$$\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{g}$$ (3.359)

mit $\vec{r}\left( t=0\right) =\vec{r}_{0}$ und $\vec{v}\left( t=0\right) =\vec{v}_{0}$ bekommt man

$$\vec{r}\left( t\right) =r_{0}+\vec{v}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^{2}$$ (3.360)

Mathematisches Pendel

Mathematisches Pendel

Versuch zur Vorlesung: Fadenpendel (Versuchskarte M-077)

$\vec{F}_{a}$ beschleunigt die Masse, also gilt:

$$\left\vert \vec{F}_{a}\right\vert =\left\vert \vec{F}_{G}\right\vert \cdot\sin\phi$$ (3.361)

Beschleunigung:

$$a=\ell \ddot{\phi}$$ (3.362)

Bewegungsgleichung

$$m\cdot a=m\ell\ddot{\phi}=-mg\sin\phi$$ (3.363)

$$\Rightarrow\hspace{1cm}\ddot{\phi}+\frac{g}{\ell}\sin\ddot{\phi}=0=\ddot{\phi}+\omega_{0}^{2}\sin\phi$$ (3.364)

mit

$$\omega_{0}^{2}=\frac{g}{\ell}$$ (3.365)

Kleine Auslenkungen:

$$\sin\phi=\phi-\frac{\phi^{3}}{3!}+\frac{\phi^{5}}{5!}-...$$ (3.366)

also

$$\ddot{\phi}+\omega_{0}^{2}\phi=0$$ (3.367)

harmonische Schwingung:

$$\Rightarrow\hspace{1cm}\phi\left( t\right) =\phi_{0}\cos\left( \omega_{0}t-\alpha\right)$$ (3.368)

Beweis

$$\ddot{\phi}=-\phi_{0}\omega_{0}^{2}\cos\left[ \omega_{0}t-\alpha\right]$$ (3.369)

d.h. die Bewegungsgleichung ist erfüllt.

$\phi_{0}$ und $\alpha$ hängen von den Anfangsbedingungen ab.

Schwere und träge Masse

Beispiel: Freier Fall

von	$m_{T}$ träge Masse (Beschleunigung)
	$m_{S}$ schwere Masse (Gravitation)

$$\vec{F} =m_{t}\vec{a}=-Gm_{s}\frac{M_{s}}{R^{3}}\vec{R}$$ (3.370)

$$\Rightarrow\vec{a}=-G\frac{m_{s}}{m_{t}}\left( \frac{M_{s}}{R^{3} }\right) \vec{R}$$ (3.371)

Beobachtung $\alpha=\frac{m_{s}}{m_{t}}=const$ ist unabhängig vom Material

Experimentell: $\left\vert \alpha-1\right\vert <10^{-12}$

Satelliten und Ähnliches

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes, mit Kreisbahnen

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes

Zentripetalkraft $F_{z}=\frac{mv_{1}^{2}}{r_{1}}$

$$F_{z}'=\frac{mv_{2}^{2}}{r_{2}}$$ (3.372)

$$F_{z}=F_{Graviation}!$$

$$\frac{Gm_{s}m_{1}}{r_{1}^{2}}=m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}$$ (3.373)

nun ist die Umlaufszeit $T_{1}=\frac{2\pi r_{1}}{v_{1}}$ oder $v_{1} =\frac{2\pi r_{1}}{T_{1}}$

also ist

$$\frac{Gm_{s}}{r_{1}^{2}} =\frac{4\pi r_{1}^{2}}{T_{1}^{2}r_{1}}$$ (3.374)

$$\Rightarrow\frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{Gm_{s}}$$ (3.375)

Dies ist das 3. Keplersche Gesetz.

Maximale Höhe eines Satelliten

Wir wissen

$$E_{pot}=-\frac{Gm_{e}m}{r}$$ (3.376)

Energiesatz:

$$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{Gm_{e}m}{R}=\frac{1}{2}mv^{2}\left( r\right) -\frac{Gm_{e}m}{r}$$

wobei $R$ der Erdradius ist.

$$v^{2}\left( r\right) =v_{0}^{2}-2Gm_{e}\left( \frac{1}{R}-\frac{1} {r}\right)$$ (3.377)

$$r\left( v\right) =\frac{Gm_{e}}{\frac{1}{2}\left( v_{0}^{2} -v^{2}\right) }+R$$ (3.378)

$$r_{\max}=\frac{R\cdot2Gm_{e}}{2Gm_{e}-v_{0}^{2}R}$$ (3.379)

$\Rightarrow r_{\max}$ divergiert wenn $v_{0}^{2}=\frac{2Gm_{e}}{R}$

oder mit $\frac{Gm_{e}}{R^{2}}=g$ bekommt man die Fluchtgeschwindigkeit

$$v_{0}=\sqrt{2gR}=11,2km/s$$

Gesamtenergie eines Satelliten

$$E_{pot}=-\frac{Gm_{e}m}{r}$$ (3.380)

Zentripetalkraft

$$m\frac{v^{2}}{r}=\frac{Gm_{e}'m}{r^{2}}\Rightarrow mv^{2}=\frac {Gm_{e}m}{r}$$ (3.381)

Kinetische Energie

$$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}\frac{Gm_{e}m}{r}=-\frac{1}{2}E_{pot}$$ (3.382)

$$E_{total}=\frac{1}{2}E_{pot}$$ (3.383)