Frage: Wie bewegt sich ein Körper?
Als Körper verwenden wir Massenpunkte.
Definition: Ein Massenpunkt ist ein idealisierter Körper, dessen gesamte Masse ![]() |
Wenn Form und Masse eines Körpers bei der Bewegung keine Rolle spielen, kann dieser Körper für Berechnungen durch einen Massenpunkt ersetzt werden.
Beispiele:
Die Lage eines Massenpunktes wird durch seinen Ortsvektor angegeben.
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Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte:
Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten
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Die Lage des Punktes
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Oft gibt man für eine Bewegung einen Fahrplan an.
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Fahrplan. Horizontal ist die Zeit, vertikal die Distanz entlang einer Strecke, hier
einer Geraden. Eingezeichnet ist die Momentangeschwindigkeit
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Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Massenpunktes ist gegeben durch
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(3.22) |
Bemerkung: dies gilt nur bei der Bewegung auf einer Geraden
Beispiel: Ausflug. Bei einem Ausflug ist man nach der Zeit am Ende wieder bei sich zuhause. Die
physikalische Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann
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Die Autofahrerdefiniton der Geschwindigkeit ist anders:
In der Gleichung (3.2) tritt die Momentangeschwindigkeit auf. Sie ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit, also
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(3.24) |
Die Momentangeschwindigkeit ist die Tangente an die Ortsfunktion im Fahrplandiagramm.
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Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, also
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(3.25) |
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Beziehungen:
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(3.26) |
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(3.27) |
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(3.28) |
Beispiel: freier Fall in Bodennähe (sonst gelten die unten stehenden Gleichungen nicht). Wir verwenden für die
Beschleunigung den Betrag des Feldvektors des Gravitationsfeldes, nämlich
. Wir haben die
Beziehungen:
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||
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Ein Massenpunkt bewege sich am Hang einer Bahnlinie
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Bewegung eines Massenpunktes.
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Die Zeit ist ein Parameter.
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(3.29) |
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Verschiebung
Beispiel für Bewegungen im Raum
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Abstand von Ursprung
Definition:
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(3.30) |
In kartesischen Koordinaten mit
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ist
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(3.31) |
Beispiel: Schraube
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Spirale
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Wurfparabel
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Der Betrag der Geschwindigkeit ist
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Wichtig:
steht beliebig zur Bahn
Beispiel: Schraube
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also ist
senkrecht auf
, d.h. senkrecht auf der Bahntangente
Wurfparabel:
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Betrag
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Zur Erinnerung ist hier nochmals die Definition der Kugelkoordinaten:
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Definition der Kugelkoordinaten
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Ort
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(3.32) |
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(3.33) |
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(3.34) |
mit
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Die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten ist
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(3.35) |
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(3.36) |
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(3.37) |
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(3.38) |
Schliesslich ist die Beschleunigung in Kugelkoordinaten
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(3.39) |
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(3.40) |
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(3.41) |
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(3.42) |
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Eine Ableitung der Gleichungen befindet sich im Anhang F.
Wir betrachten eine Bewegung in der -Ebene
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Bewegung in einer Ebene
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Definitionen
Der Ortsvektor ist:
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(3.43) |
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(3.44) |
Daraus erhalten wir unter der Annahme, dass konstant sei, die Winkelgeschwindigkeit:
Definition:
(Alle Rechnungen müssen im Bogenmass durchgeführt werden.)
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(3.45) |
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(3.46) |
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(3.47) |
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(3.48) |
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(3.49) |
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(3.50) |
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(3.51) |
also
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Die Radialkomponente der Geschwindigkeit ist
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die Tangentialkomponente ist
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Für die Beschleunigung erhalten wir
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(3.52) |
mit
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(3.53) |
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(3.54) |
also ist
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(3.55) | |
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Tangentialkomponente Radialkomponente![]() |
(3.56) |
also ist
die ins Zentrum gerichtete Zentripetalbeschleunigung
und
die den Geschwindigkeitsbetrag erhöhende
Tangentialbeschleunigung
mit dem Betrag der Beschleunigung
Die obige Rechnung kann sehr viel bequemer mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.
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Kartesische und komplexe Ebene
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Es gelten die Beziehungen
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(3.57) |
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(3.58) |
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(3.59) |
Es gilt:
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(3.60) |
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(3.61) |
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(3.62) |
daher ist auch
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(3.63) |
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(3.64) |
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(3.65) |
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(3.66) |
Eine Kreisbahn wird mit komplexen Zahlen durch
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(3.67) |
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(3.68) |
beschrieben. Wir erhalten die konjugiert komplexe Grösse
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(3.69) |
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(3.70) |
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||
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||
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wobei
die Winkelgeschwindigkeit ist.
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(3.71) |
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(3.72) |
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(3.73) |
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(3.74) |
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(3.75) |
Der erste Summand ist wieder die Tangentialbeschleunigung, während der zweite die Zentripetalbeschleunigung beschreibt
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Definition des Tangenteneinheitsvektors
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Um die Kinematik in drei Dimensionen berechnen zu können, müssen wir die Differentialgeometrie von Bahnen verstehen. Wir definieren den Ortsvektor als
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(3.76) |
Für eine infinitesimale Strecke ist der zurückgelegte Weg
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(3.77) |
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(3.78) |
Die Bahn (Trajektorie) des Massenpunktes wird durch die Streckenlänge auf der Bahn bestimmt. Diese Definition
ist ähnlich wie die im täglichen Leben übliche, ausser dass dort in der Regel Richtungen nicht berücksichtigt
werden.
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(3.79) |
Der Tangentenvektor ist
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(3.80) |
Beweis:
Die Tangentialrichtung ist durch
gegeben. Also ist
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(3.81) |
Den Einheitsvektor senkrecht auf die Bahn (auch Bahnnormale genannt)
und den
Krümmungsradius
bekommt man aus
durch Ableitung
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(3.82) |
Beweis:
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(3.83) |
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(3.84) |
also ist
senkrecht zur Ableitung bezogen auf die Streckenlänge der
Bahn
.
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Berechnung des Krümmungsradius
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Betrachtet man den an die Bahn geschmiegten Krümmungsradius
, so kann aus der Wegstrecke eine
Winkeländerung berechnet werden.
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(3.85) |
also ist
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(3.86) |
und
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(3.87) |
Wir zerlegen die Beschleunigung in ihre Tangentialkomponente
und die Radialkomponente
.
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Tangentialbeschleunigung
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Die Änderung des Ortsvektor
erhalten wir aus der Differentialgeometrie. Wir nennen
den Fahrplan. Also ist der Ortsvektor auch eine Funktion der Zeit
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(3.88) |
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(3.89) |
definiert.
Beweis:
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(3.90) |
Bemerkung : Dies ist die Definition der Geschwindigkeit, die wir üblicherweise geben würden, aber ohne
auf die Richtung
zu achten.
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(3.91) |
heisst die Tangentialbeschleunigung
heisst die Zentripetalbeschleunigung
Beweis:
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(3.92) |
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(3.93) |
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(3.94) |
Bemerkung: Wenn wir eine gekrümmte Bahn haben, also
(Kurve), gibt es die
Zentripetalbeschleunigung, sogar wenn
ist.
Wir setzen:
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(3.95) |
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(3.96) |
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(3.97) |
Wegelement:
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(3.98) |
Tangentenvektor:
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(3.99) |
Normalenvektor:
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(3.100) |
Krümmungsradius:
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(3.101) |
Betrag von :
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(3.102) |
Tangentialbeschleunigung
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(3.103) |
Zentripetalbeschleunigung
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(3.104) |
Kontrolle
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(3.105) |
x-Komponente
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(3.106) |
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(3.107) |
y-Komponente
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(3.108) |
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(3.109) |
Beispiel:
Schlangenlinie beschleunigt
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(3.110) | |
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(3.111) |
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(3.112) |
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(3.113) |
wird mit zunehmendem
parallel zur
-Achse,
wird parallel zur
-Achse
Der Krümmungsradius ist
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(3.114) |
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(3.115) |
Die Tangentialbeschleunigung (Änderung des Geschwindigkeitsbetrages) ist
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(3.116) |
und
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(3.117) |
Der Grenzwert wird
Othmar Marti