Eine Wärmekraftmaschine transportiert Wärme von einem Wärmebad in ein zweites mit einer niedrigeren Temperatur und gibt dabei mechanische (allgemein jede nichtthermische) Energie ab.
Bei einem Otto-Motor wird ein Luft-Benzin-Gemisch der Umgebungstemperatur
angesaugt und adiabatisch auf
verdichtet. Dann wird dieses Gemisch
entzündet und erreicht die Temperatur
. Die heissen Gase drücken einen
Kolben nach unten. Am unteren Umkehrpunkt, dem unteren Totpunkt, hat das Gas
die Temperatur
. Darauf wird das Gas an die Umgebung abgegeben. Im
-Diagramm sieht dies so aus:
![]()
Arbeitszyklus eines Ottomotors.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
Wärmestrom vom Wärmebad (Wärmereservoir) bei
![]() ![]() ![]() |
Beim Ottomotor kann nur der Übergang von nach
mechanische Arbeit
leisten. Alle anderen Übergänge sind adiabatisch, isochor oder isobar mit
Ankopplung an die Umgebungsluft.
Bei ist die innere Energie
![]() |
Bei erniedrigt sie sich auf
![]() |
Die Differenz der inneren Energien
wird in mechanische Energie
umgewandelt. Der Wirkungsgrad ist also
![]() |
(4.365) |
Genauer betrachtet wird bei der Verbrennung Luft mit der Temperatur auf
erwärmt. Die zugeführte Energie ist
. Die Auspuffgase mit
der Temperatur
werden an die Umgebung mit
abgegeben. Der
energetische Verlust ist also
. Schliesslich wird noch mechanische
Energie benötigt, um die angesaugte Luft von
auf
zu erwärmen, also
eine Energie von der Grösse
. Die Energiebilanz ist
![]() |
![]() |
Verbrennung | |||
![]() |
![]() |
Arbeitstakt | |||
![]() |
![]() |
Verluste an die Umwelt | |||
![]() |
![]() |
Kompression | |||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bilanz der mechanischen Energie |
Der Wirkungsgrad wird in Worten so definiert:
Der Wirkungsgrad ![]() |
Dies bedeutet bei einer Wärmekraftmaschine, dass ist, da die
zugeführte Wärmemenge grösser ist als die abgegebene mechanische Energie. Bei
einer Kältemaschine (Kühlschrank), ist die Nutzenergie die abgeführte
thermische Energie. Zugeführt wird die mechanische Energie. Bei der
Kältemaschine ist
.
Der Wirkungsgrad des Ottomotors ist dann (unter Berücksichtigung der Vorzeichen
Nun liegen die Temperaturen und
auf der gleichen Adiabaten. Es
gilt also
![]() |
Da und
auf der gleichen Adiabaten liegen, gilt auch
![]() |
Weiter ist nach unserem -Diagramm (Abbildung 4.13) ist
und
, also
![]() |
![]() |
Deshalb muss gelten
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
(4.367) |
Da die wesentlichen Takte des Otto-Zyklus adiabatisch und isochor
sind, können wir den Wirkungsgrad auch mit dem Kompressionsverhältnis
(für die Drucke) ausdrücken (
und
):
![]() |
(4.368) |
Daraus berechnet man wie die Temperaturen vom Kompressionsverhältnis
abhängen
![]() |
(4.369) |
Drücken wir den Adiabatenkoeffizienten mit der Anzahl der molekularen
Freiheitsgrade aus
bekommen wir die Gleichung für den
Wirkungsgrad als Funktion des Kompressionsverhältnisses
![]() |
(4.370) |
Um für reale Motoren den Wirkungsgrad abzuschätzen, benötigen wir die Anzahl
Freiheitsgrade der Moleküle im Verbrennungsraum. Da Luft zu 80% aus Stickstoff
besteht, nehmen wir an, dass ist. Wir verwenden hier das
Volumenkompressionsverhältnis
![]() |
|
Ideale gasbetriebene Wärmekraftmaschinen haben alle den beim Otto-Motor im Abschnitt 4.8.1 angegebenen Wirkungsgrad. Theoretisch das erste mal abgeleitet wurde dieser Wirkungsgrad durch Sadi Carnot. Er benutzte eine idealisierte Wärmekraftmaschine, die heute unter dem Namen Carnot-Maschine um den Wirkungsgrad abzuleiten.
Die Carnot-Maschine verwendet vier Arbeitszyklen, zwei Isothermen und zwei Adiabaten.
![]()
Schematische Funktion einer Carnot-Maschine
|
Wir verwenden dabei die Definition der Entropie:
![]() |
(4.371) |
![]()
Arbeitsdiagramm der Carnot-Maschine
|
Die innere Energie kann nur durch Zufuhr von Wärme () oder
mechanischer Arbeit (
) geändert werden
![]() |
(4.372) |
Bei Isothermen ändert sich die innere Energie nicht, das heisst, dass
ist. Damit gilt für Isothermen auch
![]() |
(4.373) |
Bei den Adiabaten wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht. Deshalb ist
. Damit sind die zugeführte mechanische Energie und die Änderung
der inneren Energie gleich.
![]() |
![]() |
(4.374) |
Während der beiden isothermen Zustandsänderungen ist die Carnot-Maschine
jeweils an Wärmebäder der Temperaturen und
gekoppelt. Dabei soll
gelten. Die Temperatur auf der Isothermen kann nur deshalb konstant
gehalten werden, da die Wärmebäder Wärme
zuführen oder aufnehmen.
Die ausgetauschte Wärmemenge entlang einer Isothermen ist gegeben durch
![]() |
(4.375) |
![]() |
(4.376) |
Auf den Adiabaten ist die Änderung der inneren Energie proportional zu der
zugeführten mechanischen Arbeit. Da bei der Änderung von der Isothermen bei
zu der bei
die Änderung der inneren Energie das Negative der
Änderung beim Übergang von
nach
sein. Deshalb tragen die Adiabaten
nichts zur abgegebenen mechanischen Arbeit bei.
Wir erhalten also für den Wirkungsgrad
![]() |
(4.377) |
Othmar Marti