Wärmekraftmaschinen

Eine Wärmekraftmaschine transportiert Wärme von einem Wärmebad in ein zweites mit einer niedrigeren Temperatur und gibt dabei mechanische (allgemein jede nichtthermische) Energie ab.

Otto-Motor

Bei einem Otto-Motor wird ein Luft-Benzin-Gemisch der Umgebungstemperatur $T_4$ angesaugt und adiabatisch auf $T_1$ verdichtet. Dann wird dieses Gemisch entzündet und erreicht die Temperatur $T_2$. Die heissen Gase drücken einen Kolben nach unten. Am unteren Umkehrpunkt, dem unteren Totpunkt, hat das Gas die Temperatur $T_3$. Darauf wird das Gas an die Umgebung abgegeben. Im $pV$-Diagramm sieht dies so aus:

Arbeitszyklus eines Ottomotors. $a$: ansaugen,$b$ adiabatisch verdichten, $c$: Verbrennung, $d$: Expansion (Arbeitstakt), $e$ Öffnen des Auslassventils (isochor) und $f$ Ausstoss der Verbrennungsgase.

Wärmestrom vom Wärmebad (Wärmereservoir) bei $T_2$ zum Wärmebad bei $T_3$, wobei die mechanische Arbeit $W$ abgegeben wird.

Beim Ottomotor kann nur der Übergang von $T_2$ nach $T_3$ mechanische Arbeit leisten. Alle anderen Übergänge sind adiabatisch, isochor oder isobar mit Ankopplung an die Umgebungsluft.

Bei $T_{2}$ ist die innere Energie

$$U_{2}=\frac{f}{2}NkT_{2}$$

Bei $T_{3}$ erniedrigt sie sich auf

$$U_{3}=\frac{f}{2}NkT_{3}$$

Die Differenz der inneren Energien $U_{2}-U_{3}$ wird in mechanische Energie umgewandelt. Der Wirkungsgrad ist also

$$\eta =\frac{U_{2}-U_{3}}{U_{2}}= \frac{\frac{f}{2}NkT_{2}-\frac{f}{2}NkT_{3}}{\frac{f}{2}NkT_{2}}=\frac{T_{2}-T_{3}}{T_{2}}$$ (4.365)

Genauer betrachtet wird bei der Verbrennung Luft mit der Temperatur $T_1$ auf $T_2$ erwärmt. Die zugeführte Energie ist $U_{2}-U_{1}$. Die Auspuffgase mit der Temperatur $T_3$ werden an die Umgebung mit $T_4$ abgegeben. Der energetische Verlust ist also $U_{3}-U_{4}$. Schliesslich wird noch mechanische Energie benötigt, um die angesaugte Luft von $T_4$ auf $T_1$ zu erwärmen, also eine Energie von der Grösse $U_1-U_4$. Die Energiebilanz ist

$$Q_{ein} = U_2 - U_1$$ Verbrennung

$$W_{ab} = U_2-U_3$$ Arbeitstakt

$$Q_{Verlust} = U_3 -U_4$$ Verluste an die Umwelt

$$W_{Kompr.} = U_1-U_4$$ Kompression

$$W_{netto} = W_{ab}-W_{Kompr.} = U_2-U_3-U_1+U_4$$ Bilanz der mechanischen Energie

Der Wirkungsgrad wird in Worten so definiert:

Der Wirkungsgrad $\eta$ ist das Verhältnis der erzielten Nutzenergie zur der Maschine zugeführten Energie.

Dies bedeutet bei einer Wärmekraftmaschine, dass $\eta<1$ ist, da die zugeführte Wärmemenge grösser ist als die abgegebene mechanische Energie. Bei einer Kältemaschine (Kühlschrank), ist die Nutzenergie die abgeführte thermische Energie. Zugeführt wird die mechanische Energie. Bei der Kältemaschine ist $\eta>1$.

Der Wirkungsgrad des Ottomotors ist dann (unter Berücksichtigung der Vorzeichen

$$\eta =\frac{W_{netto}}{Q_{ein}}=\frac{U_{2}-U_{1}- U_{3}+U_{4} }{U_{2}-U_{1}}$$ (4.366)

Nun liegen die Temperaturen $T_{2}$ und $T_{3}$ auf der gleichen Adiabaten. Es gilt also

$$\left( \frac{T_{2}}{T_{3}}\right) =\left( \frac{V_{2}}{V_{3}}\right) ^{1-\gamma}$$

Da $T_4$ und $T_1$ auf der gleichen Adiabaten liegen, gilt auch

$$\left( \frac{T_{1}}{T_{4}}\right) =\left( \frac{V_{1}}{V_{4}}\right) ^{1-\gamma}.$$

Weiter ist nach unserem $pV$-Diagramm (Abbildung 4.13) ist $V_1=V_2$ und $V_3=V_4$, also

$$\frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4}$$

Damit folgt aus den Beziehungen für die Adiabaten

$$\frac{T_2}{T_3} = \frac{T_1}{T_4}.$$

Deshalb muss gelten

$$T_1 = \alpha T_2 U_1 = \alpha U_2$$

$$T_4 = \alpha T_3 U_4 = \alpha U_3$$

Eingesetzt in Gleichung (4.88) erhalten wir

$$\eta =\frac{U_{2}-U_{1}- U_{3}+U_{4}}{U_{2}-U_{1}} = \frac{U_{2}-\alpha U_2- \left(U_{3}-\alpha U_3\right) }{U_{2}-\alpha U_2}$$

$$= \frac{U_{2}\left(1-\alpha\right)- U_{3}\left(1-\alpha\right) }{U_{2}\left(1-\alpha\right)} = \frac{U_2-U_3}{U_2}$$

$$= \frac{T_2-T_3}{T_2}$$ (4.367)

Dies ist das gleiche Resultat wie das unserer vorherigen Überlegung. Der Grund für dieses Ergebnis ist, dass wir für die Übergänge $T_4\rightarrow T_1$ und $T_2 \rightarrow T_3$ Adiabaten angenommen hatten.

Da die wesentlichen Takte des Otto-Zyklus adiabatisch und isochor sind, können wir den Wirkungsgrad auch mit dem Kompressionsverhältnis $\kappa$ (für die Drucke) ausdrücken ($V_1=V_2$ und $V_3=V_4$):

$$\kappa =\frac{p_{1}}{p_{4}}=\left( \frac{V_{1}}{V_{4}} \right) ^{-\gamma }=\left( \frac{V_{2}}{V_{3}} \right) ^{-\gamma }=\frac{p_{2}}{p_{3}}$$ (4.368)

Daraus berechnet man wie die Temperaturen vom Kompressionsverhältnis $\kappa$ abhängen

$$\frac{T_{3}}{T_{2}}= \left( \frac{V_{3}}{V_{2}} \right) ^{1-\gamm... ...frac{p_{3}}{p_{2}} \right)^{1-\frac{1}{\gamma } }=\kappa ^{\frac{1}{\gamma }-1}$$ (4.369)

Drücken wir den Adiabatenkoeffizienten mit der Anzahl der molekularen Freiheitsgrade aus $\gamma = \frac{f+2}{f}$ bekommen wir die Gleichung für den Wirkungsgrad als Funktion des Kompressionsverhältnisses

$$\eta =1-\frac{T_{3}}{T_{2}}=1-\kappa ^{\frac{1}{\gamma }-1}=1-\kappa ^{\frac{ -2}{f+2}}$$ (4.370)

Um für reale Motoren den Wirkungsgrad abzuschätzen, benötigen wir die Anzahl Freiheitsgrade der Moleküle im Verbrennungsraum. Da Luft zu 80% aus Stickstoff besteht, nehmen wir an, dass $f=5$ ist. Wir verwenden hier das Volumenkompressionsverhältnis

$$K = \frac{V_3}{V_2} = \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{\gamma}}=\kappa^{\frac{1}{\gamma}}$$

Motortyp	Kompressionsverhältnis $K$	$\kappa$	Wirkungsgrad bei $f=5$	$\kappa$	Wirkungsgrad bei $f=6$
Otto-Motor	7	15.24	0.5408	13.39	0.4772
	8	18.38	0.5647	16.00	0.5000
	9	21.67	0.5847	18.72	0.5192
	10	25.12	0.6019	21.54	0.5358
Diesel-Motor	12	32.42	0.6299	27.47	0.5632
	14	40.23	0.6520	33.74	0.5850
	16	48.50	0.6701	40.31	0.6031
	18	57.20	0.6853	47.17	0.6184
	20	66.29	0.6983	54.29	0.6316

Kompressionsverhältnis und Wirkungsgrade

Carnot-Maschine

Ideale gasbetriebene Wärmekraftmaschinen haben alle den beim Otto-Motor im Abschnitt 4.8.1 angegebenen Wirkungsgrad. Theoretisch das erste mal abgeleitet wurde dieser Wirkungsgrad durch Sadi Carnot. Er benutzte eine idealisierte Wärmekraftmaschine, die heute unter dem Namen Carnot-Maschine um den Wirkungsgrad abzuleiten.

Die Carnot-Maschine verwendet vier Arbeitszyklen, zwei Isothermen und zwei Adiabaten.

Schematische Funktion einer Carnot-Maschine

Wir verwenden dabei die Definition der Entropie:

$$dS=\frac{\delta Q}{T}$$ (4.371)

Arbeitsdiagramm der Carnot-Maschine

Die innere Energie kann nur durch Zufuhr von Wärme ($\delta Q$) oder mechanischer Arbeit ($\delta W$) geändert werden

$$dU=\delta Q+\delta W$$ (4.372)

Bei Isothermen ändert sich die innere Energie nicht, das heisst, dass $dU=0$ ist. Damit gilt für Isothermen auch

$$\delta Q = -\delta W$$ (4.373)

Bei den Adiabaten wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht. Deshalb ist $\delta Q=0$. Damit sind die zugeführte mechanische Energie und die Änderung der inneren Energie gleich.

$$dU =\delta W$$ (4.374)

Während der beiden isothermen Zustandsänderungen ist die Carnot-Maschine jeweils an Wärmebäder der Temperaturen $T_2$ und $T_1$ gekoppelt. Dabei soll $T_2>T_1$ gelten. Die Temperatur auf der Isothermen kann nur deshalb konstant gehalten werden, da die Wärmebäder Wärme $\delta Q$ zuführen oder aufnehmen. Die ausgetauschte Wärmemenge entlang einer Isothermen ist gegeben durch

$$\Delta Q=\int\limits_{S_{1}}^{S_{2}}T dS=T\Delta S$$ (4.375)

Diese Wärmemenge muss auf einer Isothermen direkt in mechanische Nutzarbeit gewandelt werden. Die gesamte von der Maschine geleistete mechanische Arbeit $W$ berechnet sich aus den vorzeichenrichtig addierten Nutzarbeiten beider Isothermen

$$W=-\Delta W_{2}+\Delta W_{1}=\Delta Q_{2}-\Delta Q_{1}=T_{2}\Delta S-T_{1}\Delta S=\left( T_{2}-T_{1}\right) \Delta S$$ (4.376)

Auf den Adiabaten ist die Änderung der inneren Energie proportional zu der zugeführten mechanischen Arbeit. Da bei der Änderung von der Isothermen bei $T_1$ zu der bei $T_2$ die Änderung der inneren Energie das Negative der Änderung beim Übergang von $T_2$ nach $T_1$ sein. Deshalb tragen die Adiabaten nichts zur abgegebenen mechanischen Arbeit bei.

Wir erhalten also für den Wirkungsgrad

$$\eta =\frac{W}{\Delta Q_{2}}=\frac{\Delta Q_{2}-\Delta Q_{1}}{\De... ...ac{\left( T_{2}-T_{1}\right) \Delta S}{T_{2}\Delta S}=\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{2}}$$ (4.377)