Wir verwenden die barometrische Höhenformel (siehe Gleichung (3.56) )
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Hier ist
die Masse des Gases. Beziehen wir alles auf ein Mol,
dann ist
und
, wobei
die Masse eines
Teilchens ist. Der Exponent wird dann
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Boltzmann hat diese Gleichung verallgemeinert, indem er für jede
thermodynamische, von der Energie abhängige Grösse postuliert hat
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Diese Funktion ist die Boltzmannsche Verteilungsfunktion. Verwendet man
anstelle der potentiellen Energie ein Potential
, lautet die
Boltzmannverteilung
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(4.353) |
Die Teilchendichte ist entsprechend mit der Höhe Boltzmann-verteilt.
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(4.354) |
Dabei ist die Masse eines einzelnen Teilchens. Mit dem Potential
ausgedrückt ist
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Betrachtung von Teilchenströmen
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Wir betrachten einen Teilchenstrom aus dem Volumen links von der Fläche
nach rechts. Im ganzen Gebiet, sowohl links wie rechts von
, soll die
Teilchendichte
eine Funktion von
sein. Die Abhängigkeit von den anderen
Koordinaten können wir vernachlässigen, wenn
genügend klein ist. In der
Nähe von
, an den Stellen
können wir die Teilchenzahldichte
abschätzen, indem wir die Steigung
an der
Stelle
zur Schätzung verwenden.
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Analog kann der Wert der gemittelten Geschwindigkeit
an den
Stellen
bestimmt werden.
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Die Teilchen sollen jedes eine individuelle Geschwindigkeit haben.
Wenn wir zum Mittel über alle Geschwindigkeitsbeträge wechseln, wird nur ein
Teil der Teilchen sich durch die Fläche
bewegen. Wenn wir die Fläche
als eine Seite eines Würfels betrachten, in dem sich die Teilchen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen bewegen, dann wird
aller Teilchen
die Fläche
durchstossen. Der Teilchenfluss durch
in der Zeit
ist
dann
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(4.355) |
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(4.356) |
Diese beiden Ausdrücke können mit Hilfe der Taylorentwicklung umgeschrieben werden:
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||
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Der Netto-Teilchenstrom durch in der Zeit
ist
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Wir nehmen an, dass die Temperatur konstant sei. Dann ist die innere Energie
konstant und damit die gemittelte kinetische Energie der Teilchen damit ist
aber auch
konstant (und die Ableitung nach dem Ort null).
Also ist
Die Grösse heisst Diffusionskoeffizient. Die Einheit von
ist
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Wir können Gleichung (4.79) in eine Differentialgleichung umschreiben.
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(4.358) |
Die transportierte Masse ist
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In drei Dimensionen lautet das 1.Ficksche Gesetz
Durch die Diffusion wird Masse transportiert |
Das 1. Ficksche Gesetz wird oft auch mit der Teilchenstromdichte
formuliert. Mit den Beziehungen
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wobei die Teilchenmasse ist. Das erste Ficksche Gesetz lautet dann
Aus der Massenerhaltung
oder der Erhaltung der Teilchenzahl
folgt das zweite Ficksche Gesetz
Dieser Stoff wurde am 31. 05. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 21. 05. 2007 PDF |
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Teilchenströme
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Wenn ein Teilchen, das einer Kraft ausgesetzt ist, sich durch ein Medium
mit Streuzentren bewegt, verliert es immer wieder Impuls an die Streuzentren.
Seine Geschwindigkeit wird zuerst wachsen und mit der Zeit einen konstanten
Wert annehmen, der proportional zu
ist.
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(4.363) |
Die Proportionalitätskonstante heisst Beweglichkeit. Ihre
Einheit ist
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Daraus resultiert mit der Teilchendichte die Teilchenstromdichte
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Der Diffusionsstrom ist nach dem 1. Fickschen Gesetz (siehe Gleichung (4.81) ) durch
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gegeben. Im Gleichgewicht müssen sich die beiden Ströme gerade kompensieren
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Die Lösung dieser Differentialgleichung ist
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Diese Gleichung, hergeleitet aus der Betrachtung der Diffusion und die isotherme barometrische Höhenformel und die daraus abgeleitete Boltzmannverteilung beschreiben die gleiche Situation. Deshalb müssen die Exponenten gleich sein.
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Othmar Marti