Dieser Stoff wurde am 11. 06. 2007 behandelt |
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Folien zur Vorlesung am 11. 06. 2007 PDF Übungsblatt 09 ausgegeben am 11. 06. 2007 |
Im ersten Hauptsatz haben wir die Konsequenzen der Energieerhaltung untersucht. Hier wollen wir nun die Eigenschaften kontinuierlich laufender Maschinen untersuchen.
Jede kontinuierlich laufende Maschine muss periodisch oder zyklisch sein. Diese Prozesse heissen Kreisprozesse. |
Der 2. Hauptsatz: Es gibt keine zyklische Maschine, die nur einem Wärmebad Energie entzieht und in mechanische Arbeit umwandelt. |
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Reusenmaschine (analog zur Fischreuse)
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Die Reusenklappen sollen so weich gelagert sein, dass ein Molekül, das von rechts kommt, sie aufstossen kann. Dadurch können zwar Moleküle von rechts nach links, nicht aber von links nach rechts gelangen. Der Druck (bei konstanter Temperatur) erhöht sich links, und der Kolben wird nach rechts bewegt, leistet also Arbeit. Wenn aber ein Molekül die Reusenklappen öffnen kann, bedeutet dies, dass Brownsche Bewegung (wegen der Temperatur der Reusenklappen) diese auch öffnen kann. Man könnte die Reusenklappen kühlen, dann hätte man aber zwei Wärmebäder.
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Reusenmaschine mit Dämpfung
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Hier gilt das gleiche: Die Dämpfung ist nur effektiv, wenn der Stossdämpfer
gekühlt wird . Dann hat man aber 2 Wärmereservoirs. Bei einer
elektrischen Dämpfung (Wirbelstrombremse) bringt das Widerstandsrauschen die
Klappen zum Schwingen. Dies funktioniert also auch nicht.
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Ratschenmaschine nach Feynman
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Die Brownsche Bewegung dreht die Maschine. Die Klinke bewirkt, dass die Maschine sich nur in eine Richtung bewegen kann. Die Rätschenmaschine ist kein Perpetuum Mobile zweiter Art, da die Ratsche, analog zu oben, so leicht sein muss, dass sie wegen ihrer Brownschen Bewegung ohne Dämpfung hochspringen (elastisch) würde.
Es ist kein Perpetuum Mobile 2. Art möglich. |
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Perpetuum Mobile mit Wechselstrom-Elektromotor
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Der verwendete Wechselstrommotor soll ein idealer Motor (ohne Innenwiderstand)
sein. Unabhängig von der Richtung und der Grösse der angelegten Spannung soll
er sich in die gleiche Richtung drehen. Hier nutzen wir die Rauschspannung am
Widerstand aus. Diese dreht den Motor: ein Perpetuum Mobile der 2. Art.
Auch hier funktioniert das nicht, da der Motor durch die Brownsche Bewegung des Ankers genauso wie der Widerstand eine Rauschspannungsquelle ist. Der Motor wirkt also als Generator. Um eine mechanische Arbeit zu leisten, müsste der Motor gekühlt werden.
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Perpetuum Mobile
zweiter Art mit idealer Diode. Rechts ist die Kennlinie einer idealen Diode.
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Eine ideale Diode hat in die eine Polarisationsrichtung den Widerstand null
und in die andere den Widerstand unendlich. Hier lädt also die Rauschspannung
über die Diode
den Kondensator
auf. Wenn die Spannung gross genug ist,
wird
über den Schalter
durch den Motor
entladen. Dieser leistet
mechanische Arbeit. Bei dieser Anordnung ist das Zittern des Motors nicht
relevant.
Die Anordnung ist trotzdem kein Perpetuum Mobile 2. Art, da, wie in der Festkörperphysik oder der Vorlesung Physikalische Elektronik und Messtechnik gezeigt wird, es keine ideale Diode gibt.
Durch Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten kann der Zweite Hauptsatz auf statistische Gesetze zurückgeführt werden.
Dies steht eventuell im Gegensatz zu der Betrachtung, die die Entropie aus der Definition einer Adiabaten abgeleitet hat.
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Nach dem Öffnen verteilen sich die Moleküle auf
beiden Kästen. Der Umkehrprozess ist nicht beobachtbar.
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Wir betrachten drei Teilchen, nummeriert von 1 bis 3, die entweder links oder rechts sind. Jedes Teilchen kann also die Zustände links oder rechts einnehmen.
In der Regel wird das gesamte Volumen so in Kompartimente eingeteilt, dass in jedem Kompartiment nur keines oder ein Molekül ist.
Die räumliche Ausdehnung von Mikrozuständen ist klein gegen die des gesamten Systems. Sie muss jedoch gross gegen die charakteristische Strukturlänge der Teilchen sein. Bei Helium zum Beispiel werden die Atome bezüglich der Mikrozustände als Punkte angesehen.
Die Konsequenz dieser Aussagen ist, dass die Betrachtung nur gilt, wenn die
charakteristischen Längen
sind.
Zwischen der atomaren Betrachtung und der makroskopischen Physik, also bei Längenskalen von Nanometern bis Mikrometern spricht man von der mesoskopischen Physik, einem aktuellen Forschungsgebiet.
Ein System im Gleichgewicht befindet sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem ihm zugänglichen Zustand. |
Die nicht unterscheidbaren Mikrozustände werden zu einem Makrozustand zusammengefasst. Sein statistisches Gewicht entspricht der Anzahl Mikrozustände.
Betrachtet man Makrozustände, sind die einzelnen Teilchen äquivalent oder ununterscheidbar.
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Die drei Mikrozustände mit einem Teilchen links und zwei Teilchen rechts bilden einen Makrozustand.
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Das Gewicht der einzelnen Makrozustände wird durch die Anzahl der Mikrozustände bestimmt.
Bei insgesamt Teilchen sind
Teilchen im linken Kompartiment und
Teilchen im rechten Kompartiment. Das Statistische Gewicht dieses Zustandes
ist
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(4.398) |
Dies ist die Binominalverteilung (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 13]) .
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Für gross N geht die Binominalverteilung in die Gaussverteilung über.
Wir betrachten nochmals zwei Teilchen mit den Zuständen und
. Die Teilchen sind mit den Wahrscheinlichkeiten
im
Zustand
und mit der Wahrscheinlichkeit
im
Zustand
.
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Insgesamt gibt es Mikrozustände verteilt auf 4 Makrozustände.
Allgemein gibt es bei Teilchen mit
Teilchen im Zustand
und
Teilchen im Zustand
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Zustände, jeweils mit dem statistischen Gewicht
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Die Gesamtzahl aller Mikrozustände ist .
Wenn man Zahlenwerte einsetzt, sieht man, dass extreme Makrozustände - alle Teilchen im gleichen Zustand - extrem selten sind.
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Statistisches Gewicht, oder Wahrscheinlichkeit, für Makrozustände
mit
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Um den Zustand eines Systems anzugeben bestimmt man zuerst seinen Mikrozustand.
Dabei sind die 's die zu den Ortskoordinaten
konjugierten Impulse.
Bei kartesischen Koordinaten ohne Magnetfeld und innere Freiheitsgrade gilt
. Mit Magnetfeld oder inneren Freiheitsgraden sind die
auf
eine kompliziertere Weise definiert.
Der Vektor
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beschreibt den Mikrozustand des Systems.
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Ort
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Die Position eines Teilchens mit dem Ort und dem Impuls
kann, analog zu
den Fahrplänen aus der Vorlesung Grundlagen I im Phasenraum dargestellt werden.
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Phasenraum eines Teilchens in einer eindimensionalen Welt.
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Um Zustände definieren zu können, unterteilen wir den Phasenraum in Zellen mit
den Seiten und
.
Das Phasenraumvolumen ist dann
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mit der Einheit
. In der
klassischen Physik (hier) ist
eine variable Grösse, die man am Ende jeder
Rechnung gegen null gehen lässt. In der Quantenmechanik hat das
Phasenraumvolumen eines Teilchens in einer Dimension eine feste Grösse
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Wir zählen nun die Phasenraumzellen ab. Die Koordinaten sagen dann, in welcher
Phasenraumzelle ein Teilchen sich gerade aufhält. Deshalb beschreibt ein
- dimensionaler Vektor den momentanen Zustand eines
-Teilchen-Systems. Man
kann auch sagen, ein System aus
Punktteilchen hat
Freiheitsgrade.
Bemerkung: Die statistische Mechanik und die statistische Interpretation der Quantenmechanik sind sich sehr ähnlich.
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Die
Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in
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Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in zu finden ist dann
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Für zwei Teilchen erhält man
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Für Teilchen im Volumen
bekommt man
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Wenn
und
Teilchen ist, beträgt die
Wahrscheinlichkeit dass alle Teilchen in
sind
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Bemerkung Die statistische Mechanik sagt nichts über die Geschwindigkeit aus, mit der Zustände erreicht werden.
Ein Prozess heisst irreversibel, wenn sein Ausgangszustand versehen mit den statistischen Gewichten des Endzustandes unwahrscheinlicher ist als der Endzustand. |
Eine Zustandsänderung heisst reversibel, wenn zwei Zustände über eine Kette von Zwischenzuständen so ineinander übergeführt werden, dass alle Zwischenzustände jeweils die maximale Wahrscheinlichkeit haben. |
Dieser Stoff wurde am 14. 06. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 14. 06. 2007 PDF |
Wir zählen die Anzahl Zustände, die zwischen und
liegen. In
vielen Fällen ist diese Energie die innere Energie
. Um auch die Fälle
mitzunehmen, bei denen die Gesamtenergie wesentlich durch andere Energien
bestimmt ist, verwenden wir hier den Buchstaben
. Solche Fälle sind, zum
Beispiel, die Thermodynamik in starken Lichtfeldern oder in der Nähe eines
schwarzen Lochs. Wir nennen diese Anzahl
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Die Grösse muss so gewählt werden, dass sie klein gegen die Energie
selber ist, und dass sie gross gegen die internen Energieskalen (z.B. die
Abstände der quantenmechanischen Energieniveaux) ist. Aus der Anzahl der
Zustände definieren wir die Zustandsdichte
:
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(4.399) |
Wenn die Zustandsdichte bekannt ist, berechnen sich die Erwartungswerte der
Grössen wie
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(4.400) |
Insbesondere ist der Erwartungswert der Energie
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(4.401) |
Wie gross ist
? Wir nehmen an, dass das
System
Freiheitsgrade hat. Für jeden Freiheitsgrad soll es
Zustände geben. Dabei muss
sein. Andererseits fällt auf jeden Freiheitsgrad die Energie
. Die Gesamtzahl der Zustände
ist dann das
Produkt der Anzahl der einzelnen Zustände.
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(4.402) |
Die Anzahl Zustände zwischen und
, also in einer Kugelschale
einer
-dimensionalen Kugel der Dicke
berechnen5
Die Anzahl Zustände ändert sich langsam mit
, die Anzahl
der gesamten Zustände nimmt aber, da
sehr gross ist, extrem schnell zu.
Dies gilt im allgemeinen für
und
.
Logarithmieren wir Gleichung (4.125) und vernachlässigen konstante oder sich
nur langsam ändernde Terme (z.B.
oder
), so erhalten wir
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(4.404) |
Wenn die Grössenordnung
ist, ist auch
. Da
ist, ist der zweite Summand auch von der Grösse
.
Wir betrachten Moleküle eines monoatomaren Gases. Im allgemeinsten Fall
setzt sich die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie der Teilchen und der
gegenseitigen Lageenergie (potentielle Energie) der Teilchen zusammen.
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Die Anzahl Zustände zwischen und
sind
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(4.405) |
Dies sind Integrale über den gesamten Phasenraum des Systems. Wir haben
die Abkürzungen
und
verwendet. Bei einem idealen Gas ohne
gegenseitige Wechselwirkung ist
. Deshalb ist das Integral über die
Raumkoordinaten einfach das Volumen zur
-ten Potenz.
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(4.406) |
Die Integrale über die Impulse dürfen, bei einem idealen Gas, nur von der
gesamten kinetischen Energie abhängen.
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Damit erhalten wir
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(4.407) |
Aus der Mechanik ist bekannt, dass die gesamte kinetische Energie sich als Summe der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen schreiben lässt:
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Dies ist die Bestimmungsgleichung einer -dimensionalen Kugel. Diese Kugel
hat den Radius
. Die Anzahl Zustände zwischen 0 und
hängt
dann vom Radius
dieser Kugel ab und ist proportional zu
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Da
ist, gilt auch
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In der Kugelschale zwischen und
liegen
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Zustände. Hier haben wir verwendet, dass die Anzahl Freiheitsgrade ist.
Damit ist die Anzahl Zustände im Energiebereich zwischen
und
durch
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(4.408) |
Die Beziehung zwischen der Anzahl Zustände zwischen und
vor
und nach einem Prozess erlauben, festzulegen, ob ein Prozess ein reversibler
Prozess ist. Sei
die Anzahl der Zustände im betrachteten
Energieintervall bevor wir den Prozess ausführen.
sei
entsprechend die Anzahl der Zustände im betrachteten Energieintervall nach
Ausführung des Prozesses.
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Jedes thermodynamische System hat eine charakteristische Zeit , um ins
Gleichgewicht zu kommen. Diese charakteristische Zeit muss mit der
charakteristischen Zeit für ein Experiment,
, verglichen werden.
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Skizze zweier thermodynamischer Systeme
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Wir betrachten die beiden thermodynamischen Systeme und
, die sich im
Kontakt binden sollen. Das Gesamtsystem
sei thermisch isoliert.
Sei
die Anzahl Zustände von
zwischen
und
und
die Anzahl Zustände von
zwischen
und
.
Der Satz von der Energieerhaltung verlangt, dass
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ist. Damit kann man die Energie von
ausdrücken
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Wir bezeichnen mit
die Anzahl
Zustände des Gesamtsystems
zwischen
und
. Da die beiden
thermodynamischen Systeme
und
statistisch unabhängig sind, ist die
Anzahl der Zustände des Gesamtsystems das Produkt der Anzahl Zustände des
Systems
, also
, und der Anzahl Zustände des Systems
, und
.
Die Wahrscheinlichkeit des Zustandes des Gesamtsystems ist
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Dabei ist eine noch unbekannte Konstante und
die
Gesamtzahl aller möglicher Zustände summiert über alle Energien.
Da die beiden thermodynamischen Systeme und
statistisch unabhängig
sind, gilt
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(4.409) |
Deshalb gilt für das Gesamtsystem die Wahrscheinlichkeit
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(4.410) |
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Breite der Verteilungsfunktion
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Für gilt:
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Begründung:
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Daraus folgt für den Logarithmus von
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Dabei existieren die folgenden Grenzwerte
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(4.411) |
Das Maximum von ist sehr viel schärfer als das Maximum von
.
Wie gross ist ? Diese Grösse kann über die Ableitung berechnet
werden.
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(4.412) |
Es gilt aber
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(4.413) |
Damit und mit
erhalten wir
0 | ![]() |
|
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||
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(4.414) |
Wir setzen
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und erhalten im Gleichgewicht
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(4.415) |
mit
.
Dieses ist eine Funktion von
und hat als Einheit
. Andererseits wissen wir, dass auch die
Temperatur eine Funktion der Energie, nämlich der inneren Energie
ist.
Wir definieren:
|
Dabei ist die Boltzmannkonstante und
die Temperatur.
Mit der (zuerst rein formalen) Definition der Entropie
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(4.417) |
bekommt man
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(4.419) |
heisst Entropie. Ihre Einheit ist
.
ist die statistische Definition der Entropie |
In unserer Herleitung hängt die Anzahl der Zustände und die Entropie
immer noch von der konstanten
Breite des Energieintervalls
ab. Gleichung Gleichung (4.140) zeigt, dass
unabhängig von
ist. Nehmen wir an, dass das Energieintervall von
auf
wechselt. Da die Zustandsdichten
gleich sind(
), gilt auch
und damit
. Nun hat aber
die Grössenordnung
und
liegt irgend wo bei einem Wert kleiner
, so dass in
sehr guter Näherung gilt:
. Damit ist auch die Entropie unabhängig von der Wahl von
.
Der wahrscheinlichste Zustand unserer beiden thermodynamischen Systeme im Kontakt ist gegeben durch
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(4.420) |
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(4.421) |
Aus der statistischen Physik kann man ableiten:
Im Gleichgewicht zweier thermodynamischer Systeme sind
ihre Temperaturen gleich und die gesamte Entropie ![]() |
Dieser Stoff wurde am 18. 06. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 18. 06. 2007 PDF Übungsblatt 10 ausgegeben am 22. 06. 2007 Lösungsblatt 10 ausgegeben am 22. 06. 2007 |
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Überströmversuch
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Beim Überströmversuch betrachtet man zwei Zustände, in denen ein System von
Teilchen sich befinden kann.
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Wenn das Gas also aus dem Zustand alles links in den gleichverteilten Zustand wechselt, ändert sich die Entropie um
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Wenn Teilchen aus
in
strömen, nimmt die Entropie um
zu.
Andererseits müsste die Entropie um den gleichen Wert abnehmen, wenn alle
Teilchen aus dem gleichverteilten Zustand nach
strömen sollten.
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zugenommen.
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Wir wissen, dass die Beziehungen
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(4.422) |
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Weiter gilt, dass für alle auch
ist.
Aus ![]() ![]()
Dieses Resultat gilt, wenn ![]() |
Wenn eine obere Grenze hat dann gibt es Energien für die
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(4.424) |
Aus
folgt
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und weiter, dass
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(4.425) |
Wenn kein Gleichgewicht herrscht, fliesst die (infinitesimale) Wärme
zwischen den beiden Wärmereservoiren. Die Entropie nimmt dann zu mit
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(4.426) |
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also Wärme wird vom System mit den höheren (kleinerem
) absorbiert
und von niederen
(höherem
) abgegeben.
Othmar Marti