Wärmereservoire

Die klassische Definition eines Wärmereservoirs lautet:

Ein Wärmereservoir hat die Wärmekapazität

$$C=\infty$$ (4.427)

Die statistische Betrachtung geht so: Wir haben zwei Systeme $A$ und $A'$ im Kontakt. Das System $A'$ ist ein Wärmebad oder Wärmereservoir, wenn $T'$ sich kaum ändert bei der Wärmezufuhr $Q$. Die kann in einer Gleichung so geschrieben werden:

$$\left\vert \frac{\partial T'}{\partial E'}\cdot Q'\right\vert \ll T'$$ (4.428)

Daraus folgt

$$\left\vert \frac{\partial \beta '}{\partial E'}Q'\right\vert \ll \beta '$$ (4.429)

dann sollte auch

$$\frac{\tilde{E}}{\tilde{E}'}\ll 1$$

sein.

Sei nun $\Omega '\left( E'\right)$ die Anzahl der zugänglichen Zustände von $A'$ im Energieintervall von $E$ bis $E+\delta E$. Das System $A'$ absorbiere die Energie $\Delta E'=Q'$. Dann lautet die Taylor-Entwicklung

$$\ln \Omega '\left( E'+Q'\right) -\ln \Omega '\left( E'\right) =\left( \frac{\partial \ln \Omega '\left( E'\right) }{\partial E'... ...{2}\Omega '\left( E'\right) }{\partial E^{'2}}\right) Q^{'2}+O\left(Q'^3\right)$$

$$=\beta 'Q'+\frac{1}{2}\frac{\partial \beta'}{\partial E'}Q^{'2}+O\left(Q'^3\right)$$ (4.430)

Die Terme 2. und höherer Ordnung können vernachlässigt werden, da mit Gleichung (4.152) gilt

$$\frac{\partial\beta'}{\partial E'}Q'^2 = \left(\frac{\partial\beta'}{\partial E'}Q'\right)Q' \ll \beta' Q'$$

Damit bekommen wir

$$\ln \left( \Omega '\left( E'+Q'\right) -\ln \Omega '\left( E'\right) \right) =\beta 'Q'=\frac{Q'}{kT'}$$ (4.431)

oder

$$\Delta S'=\frac{Q'}{T'}$$ (4.432)

wenn die Wärmemenge $Q'$ mit einem Wärmebad ausgetauscht wird.

Eine analoge Rechnung gilt auch für infinitesimale Wärmemengen $\delta Q$.

Sei $\delta Q\ll E$. Dann haben wir

$$\ln \Omega \left( E+\delta Q\right) -\ln \Omega \left( E\right) \... ... \frac{1}{2}\frac{\delta ^{2}\ln \Omega }{E^{2}}\delta Q^{2}+O\left(Q'^3\right)$$ (4.433)

und wieder

$$dS=\frac{\delta Q}{T}$$ (4.434)

Diese Gleichung hatten wir schon bei der nichtstatistischen Betrachtung der Entropie verwendet. Es ist doch beruhigend, dass die statistische Betrachtung auf die gleichen Gesetze wie die klassische Betrachtung führt.