Wie breit ist das Maximum von $\Omega (E)$?

(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 108])

Wir betrachten wieder zwei Systeme $A$ und $A'$ im Kontakt. $A$ habe die Energie $E$, $A'$ die Energie $E'=E_0-E$, wobei $E_0$ die Energie des gesamten Systems $A_0 = A+A'$ sein soll. Wir entwickeln die Energie $E$ um ihren Maximalwert $\tilde{E}$ mit

$$\eta =E-\tilde{E}$$

in eine Taylorreihe.

$$\ln \Omega \left( E\right) =\ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\frac{ \partial \ln \Omega \... ...artial ^{2}\ln \Omega \left( \tilde{E}\right) }{\partial E^{2}}\eta ^{2}+\ldots$$

$$=\ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\beta \eta -\frac{1}{2}\lambda \eta ^{2}+\ldots$$ (4.435)

Dabei haben wir $\beta = \partial \ln\Omega/\partial E$ verwendet. Weiter haben wir

$$\lambda = -\partial^2\ln\Omega/\partial E^2 = -\frac{\partial \beta}{\partial E}$$ (4.436)

definiert.

Für das System $A'$ gilt

$$\tilde{E}'=E_{0}-\tilde{E}$$

und damit

$$E'-\tilde{E}'=-E+\tilde{E}=-\eta$$ (4.437)

Damit bekommen wir

$$\ln \Omega '\left( E'\right) =\ln \Omega '\left( \tilde{E}'\right) -\beta '\eta -\frac{1}{2} \lambda '\eta ^{2}+\ldots$$ (4.438)

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten

$$\ln \Omega \left( E\right) +\ln \Omega '\left( E'\right) \approx \ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\beta \eta -\frac{1}{... ...n \Omega '\left( \tilde{E}'\right) -\beta '\eta -\frac{1}{2} \lambda '\eta ^{2}$$

$$=\ln\left(\Omega\left( \tilde{E}\right) \cdot \Omega '\left( \til... ...ft( \beta -\beta '\right) -\frac{1}{2}\eta ^{2}\left( \lambda +\lambda '\right)$$ (4.439)

Dies ist eine quadratische Funktion in $\eta$. Damit diese ein Maximum hat, muss der Koeffizient von $\eta$ null und der Koeffizient von $\eta^2$ negativ sein. Deshalb gilt beim Maximalwert von $\Omega(E)=\Omega(\tilde{E})\cdot\Omega'(\tilde{E}')$ (Die beiden Teilsysteme sind unabhängig!)

$$\beta =\beta'$$

Dies bedeutet auch, dass die Temperaturen von $A$ und $A'$ gleich sind.

Wir setzen $\lambda_0 = \lambda+\lambda'$ und können für die Wahrscheinlichkeiten $p(E) \propto \Omega(E)=\Omega(\tilde{E})\cdot\Omega'(\tilde{E}')$ schreiben:

$$\ln p\left( E\right) =\ln p\left( \tilde{E}\right) -\frac{1}{2}\lambda _{0}\eta ^{2}$$ (4.440)

oder

$$p\left( E\right) =p\left( \tilde{E}\right) e^{-\frac{1}{2}\lambda _{0}\left( E-\tilde{E}\right) ^{2}}$$ (4.441)

Die Grösse $\lambda _{0}=\lambda+\lambda'$ muss grösser null sein, da sonst $p(E)$ kein Maximum hätte. Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, muss auch das $\lambda$ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch $\lambda >0$ und $\lambda '>0.$

Mit $\Omega =E^{f}$ folgt

$$\lambda =-\left( -\frac{f}{\tilde{E}^{2}} \right)=\frac{f}{\tilde{E}^{2}}>0$$ (4.442)

Aus Gleichung (4.164) folgt, dass $p(E)$ eine Gaussverteilung ist.

Die mittlere Energie eines Systems ist also die Energie des Maximums der Gaussverteilung.

Die Gaussverteilung selber ist gegeben durch

$$p(E) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(E-\tilde{E})^2}{2\sigma^2}}$$

wobei $\sigma$ die Standardabweichung ist. Der Vergleich mit Gleichung (4.164) ergibt:

$$\lambda_0 = \frac{1}{\sigma^2}$$

$p(E)$ und $\ln(p(E))$ für $\lambda = 0.001$ and $\tilde{E}=2500$.

Weit ausserhalb des Maximums gilt

$$\frac{1}{2}\lambda _{0}\left( E-\tilde{E}\right) ^{2} \gg 1$$

Dann ist

$$P\left( E\right) \sim 0$$

und

$$\left\vert E-\tilde{E}\right\vert \gg \lambda _{0}^{-\frac{1}{2}}$$

Die Breite der Verteilung, $\Delta E^*=\left\vert E-\tilde{E}\right\vert$ kann man dann mit der Standardabweichung angeben, also

$$\Delta E^*=\lambda _{0}^{-\frac{1}{2}}$$ (4.443)

Wir betrachten zwei Systeme $A$ und $A'$ im Kontakt. Das gesamte System sei $A_0 = A+A'$. Wenn $A\gg A'$ ist, dann ist ist

$$\lambda \sim \lambda _{0}$$

$$\lambda _{0}\sim \frac{f}{\tilde{E}^{2}}=\frac{f}{\left<E\right>^{2}}$$ (4.444)

Wobei $\tilde{E}$ die Energie des Maximums der Verteilung der Zustände und $\left<E\right>$ die mittlere Energie ist. Die Breite der Verteilung ist dann

$$\Delta E^*\sim \frac{\left<E\right>}{\sqrt{f}}$$

oder

$$\frac{\Delta E^*}{\left<E\right>}\approx \frac{1}{\sqrt{f}}$$ (4.445)

Bei einem Mol Teilchen ( $f\sim 10^{24}$) ist die Breite der Verteilung $\frac{\Delta E}{\left<E\right>}\approx 10^{-12}$.