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Unterabschnitte

• Evaneszente Wellen

Die Fresnelschen Formeln

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 539])

Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

Die Reflexion und die Brechung von Licht wird durch die Fresnelschen Formeln bestimmt. Wir verwenden die Definitionen

• Der einfallende und der reflektierte Strahl definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.
• Licht, dessen Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heisst s-polarisiertes Licht.
• Licht, dessen Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heisst p-polarisiertes Licht.
• Für die Intensität des Lichtes gilt in nichtmagnetischen Medien $I = \sqrt{\varepsilon } E^2$, wobei $\varepsilon = n^2$ ist.

Wir betrachten Licht mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon$ und $\varepsilon '$ sind, dann muss der Energiestrom an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

$$\sqrt{\varepsilon }\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = \sqrt{\varepsilon '}E_g^2\cos\beta$$ (3.41)

wobei $\alpha$ und $\beta$ die Winkel zur Oberflächennormalen sind, $E_e$ ist die $E$-Feldkomponente des einfallenden Lichtes parallel zur Oberfläche, $E_r$ die des reflektierten (beachte das Vorzeichen) und $E_g$ die des gebrochenen.

Da an der Grenzfläche keine Ladungen vorhanden sind, muss die Komponente von $\vec E$ parallel zur Oberfläche stetig sein, also $E_e + E_r= E_g$.

Wir beachten, dass $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$ ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

$$\sqrt{\varepsilon }\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha = \sqrt{\varepsilon '}E_g\cos\beta$$ (3.42)

Materialien

Folien zur Vorlesung am 22. 05. 2002 (PDF)

Nach dem Brechungsgesetz ist $\sqrt{\varepsilon '/\varepsilon } = n'/n = \sin\alpha/\sin\beta$. Wir setzen dies ein und erhalten

$$\left(E_e-E_r\right)\sin\beta\cos\alpha = E_g\sin\alpha\cos\beta$$ (3.43)

Mit $E_e-E_r=E_g$ bekommen wir

• Wenn $\alpha > \beta$, wenn also das Licht aus dem optisch dünneren Medium auf das optisch dichtere Medium trifft, haben $E_e$ und $E_r$ unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um $\pi$ bei der Reflexion auf.
• Bei der Reflexion am dünneren Medium $\alpha < \beta$ wechselt $\sin(\alpha-\beta)$ das Vorzeichen. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion.
• Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren.
• Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man $E_r = - E_e \frac{\sin\alpha-\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta} = -E_e\frac{n'-n}{n'+n}$

Stetigkeitsbedingungen für Licht mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die $\vec k$-Vektoren dar (rot für das einfallende Licht, grün für das reflektierte und blau für das gebrochene Licht). Die $\vec E$-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

Bei p-polarisiertem Licht ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von $\vec E$ durch

$$\left(E_e+E_r\right)\cos\alpha = E_g\cos\beta$$ (3.44)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Energieerhaltung

$$\sqrt{\varepsilon }\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = \sqrt{\varepsilon '}E_g^2\cos\beta$$ (3.45)

Teilen wir die beiden Gleichungen, erhalten wir

$$\sqrt{\varepsilon }\left(E_e-E_r\right) = \sqrt{\varepsilon '}E_g$$ (3.46)

Wir ersetzen wieder $\varepsilon$ und $\varepsilon '$

$$\sqrt{\varepsilon }\left(E_e-E_r\right) = \sqrt{\varepsilon }\;\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}E_g$$ (3.47)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

$$E_e\sin\beta = E_r\sin\beta+E_g\sin\alpha$$

$$E_e\cos\alpha = -E_r\cos\alpha+E_g\cos\beta$$ (3.48)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $\cos\alpha$ und die zweite mit $\sin\beta$ und addieren

$$E_e\left(\sin\beta\cos\alpha+\sin\beta\cos\alpha\right) = E_g\left(sin\alpha\cos\alpha+\sin\beta\cos\beta\right)$$ (3.49)

Mit $\sin(\alpha \pm\beta)\cos(\alpha \mp \beta) = \sin\alpha\cos\alpha \pm \sin\beta\cos\beta$ wird die obige Gleichung

$$E_e\left(2\sin\beta\cos\alpha\right) = E_g\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$$ (3.50)

Um $E_r$ zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (3.52) mit $\cos\beta$ und die untere mit $\sin\alpha$, subtrahieren und erhalten

$$E_e\left(\sin\beta\cos\beta-\cos\alpha\sin\alpha\right) = E_r \left(\sin\beta\cos\beta+\sin\alpha\cos\alpha\right)$$ (3.51)

Dies ist auch

$$E_e\sin(\beta-\alpha)\cos(\beta+\alpha) = E_r\sin(\beta+\alpha)\cos(\beta-\alpha)$$ (3.52)

Damit erhält man

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium ($n_1=1$) in das dichtere ($n_2 = 1.5$) eintritt.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium ($n_1=1$) in das dichtere ($n_2 = 1.5$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren ($n_1 = 1.5$) Medium in das dünnere ($n_2 = 1$)eintritt.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren ($n_1 = 1.5$) Medium in das dünnere ($n_2 = 1$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von $\varepsilon \vec E = \vec D$ liefert das Snelliusche Gesetz.

Evaneszente Wellen

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass wenn Licht aus dem dichteren Medium in das dünnere eintritt, es Winkel gibt ( $n'\sin\beta >1)$, für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der $\vec k$-Vektor des lichtes im dünneren Medium imaginär wird. Darum wird aus $e^{jkr}$ mit $k = j\kappa$ der exponentielle Dämpfungsfaktor $e^{-\kappa r}$, wobei $\kappa$ vom Einfallswinkel abhängt. Licht im dünneren Medium kann also nicht propagieren: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen

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