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Unterabschnitte

• Polarisation durch Absorption
• Polarisation durch Streuung
• Polarisation durch Reflexion
• Polarisation durch Doppelbrechung

Polarisation

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1044])

Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Das heisst, dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht ist durch $\vec E(\vec x) = \vec E_0(\vec x) \cos(\vec k(\vec x) \cdot \vec x -\omega t)$ gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass $\vec E-0$ der Bedingung

$$\vec E_0 \cdot \vec k =0$$ (3.21)

gilt.

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

• der Wellenvektor $\vec k = (k;0;0)$
• und die Amplitude $\vec E_0 = (0;E_y;E_z)$

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Polarisation durch Absorption

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1044])

Polarisation durch Absorption

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen $\pi$-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um $\pi/4$ gedreht.

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des $\vec E$-Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

$$E = E_0\cos\theta$$ (3.22)

wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude ist $I \propto E^2$ gilt für die Intensität

$$I = I_0 \cos^2\theta$$ (3.23)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine optisch aktive Substanz eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die grösse der optischen Aktivität gemessen werden^3.4.

Polarisation durch Streuung

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1046])

Polarisation durch Streuung

Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des $\vec E$-Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.

Polarisation durch Reflexion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1047])

Materialien

Übungsblatt 3 vom 20. 5. 2002 (HTML) oder (PDF)

Folien zur Vorlesung am 15. 05. 2002 (PDF)

Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.

Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze

• Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung für die zur Grenzfläche tangentiale Komponenten des Lichtes)
• Das Gesetz von Snellius $n \sin \theta_P = n_2 \sin\theta_2$

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht $\pi/2$ ist, haben wir wieder die Situation wie bei der Streuung: im reflektierten Licht kann keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung ($\vec E$!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene liegt. Das heisst, der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene. Der Winkel $\theta_P$ heisst nach seinem Entdecker Brewster-Winkel. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass $\theta_P +\theta_2 = \pi/2$ ist. Damit wird der Brewster-Winkel

$$n \sin\theta_P = n_2 \sin\theta_2 = n_2 \sin(\pi/2-\theta_P) = n_2 \cos \theta_P$$ (3.24)

und damit

$$\tan\theta_P = \frac{n_2}{n}$$ (3.25)

Für Glas ($n_2 = 1.5$) gegen Luft ($n=1$) ist $\theta_P = \arctan(1.5) = 0,3128\pi = 56,31^0$. Der Brewster-Winkel wird zum Beispiel beim Resonator von Gaslasern angewandt um die Polarisationsrichtung zu definieren.

Polarisation durch Doppelbrechung

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1048])

Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul $E$ beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl $n = \varepsilon ^2$ beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren $\varepsilon$ oder $n$ beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem Nur Komponenten auf ihrer Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, $n$ sondern drei Indizes $n_1$, $n_2$ und $n_3$ angegeben werden müssen.

Tabelle 3.1: Doppelbrechende Materialien

Material	Anwendung
Kalkspat	Differenz-Interferenz-Kontrast-Objektive
Quarz
Flüssigkristalle	Anzeigen ...
Plexiglas unter mechanischer Spannung	Spannungsuntersuchung
usw.

Wirkungsweise eines $\lambda/4$-Plättchens oder eines $\lambda/2$-Plättchens

Bei einem $\lambda/4$- oder einem $\lambda/2$-Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie $\pi/4$ zu den beiden Hauptachsen mit $n_{schnell}<n_{langsam}$ ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei $\lambda/4$-Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.

Wellen in einem $\lambda/4$-Plättchen

Ist der Gangunterschied $\lambda/2$, wie in der unten stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um $\pi/2$ gedreht. Mathematisch kann diese Tatsache wie folgt formuliert werden:

Licht wird durch die Gleichung

$$\vec{E}(\vec{x},t) = \vec{E}_0 e^{j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)-\varphi }$$ (3.26)

beschrieben, wobei $\vec{E}_0 \cdot \vec k = 0$ ist (Transversalität) und $\vec{E}_0$ die Polarisationsrichtung angibt. $\varphi$ ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort $0$ und zur Zeit $0$ angibt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir $\vec k = (k;0;0)$ setzen. Dann ist $\vec{E}_0 = (0;E_y;E_z)$ die möglichen Polarisationsrichtungen. Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex $n_1$) entlang $y'$ und die langsame Achse (Brechungsindex $n_2$) entlang $z'$ und die Dicke $\ell$. Die $x$-Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel $\alpha$ gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist

$$x' = x$$

$$y' = y\cos(\alpha) - z \sin(\alpha)$$

$$z' = y\sin(\alpha) + z\cos(\alpha)$$ (3.27)

Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der $x$-Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase $\varphi = 0$. Wir bekommen dann

$$E_{y'} = E_y\cos\alpha-E_z\sin\alpha$$

$$E_{z'} = E_y\sin\alpha+E_z\cos\alpha$$ (3.28)

Die Feldkomponente mit der Polarisation $E_{y'}$ breitet sich mit der Geschwindigkeit $c_{1} = c/n_1$ aus, die Polarisation $E_{z'}$ mit der Geschwindigkeit $c_{2} = c/n_2$. Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang $y'$ $\lambda_{1} = \lambda/n_1 = \frac{2\pi}{k n_1} = \frac{2\pi}{k_1}$ und entlang $z'$ $\lambda_{2} = \lambda/n_1 = \frac{2\pi}{k n_2} = \frac{2\pi}{k_2}$. Für die $\vec k$ gilt dann

$$k_1 = n_1 k$$

$$k_2 = n_2 k$$ (3.29)

Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke $\ell$ ist dann $t_1 = \ell/c_1 =\ell n_1/c$ und $t_2 = \ell/c_2 =\ell n_2/c$. Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise $t=0)$ das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir

$$E_{y'}(\ell,0) = E_{y'}e^{jk_1 \ell} = E_{y'}e^{jn_1 k \ell}$$

$$E_{z'}(\ell,0) = E_{z'}e^{jk_2 \ell} = E_{y'}e^{jn_2 k \ell}$$ (3.30)

Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also $\varphi (\ell) (n_2-n_1)k\ell$ Wir können also auch schreiben

$$E_{y'}(\ell,0) = E_{y'}e^{j n_1 k \ell}$$

$$E_{z'}(\ell,0) = E_{z'}e^{j n_1 k \ell}e^{j\varphi (\ell)}$$ (3.31)

Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die $z'$-Komponente gegen der $y'$-Komponente um $\varphi (\ell)$ phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das $x,y,z$-Koordinatensystem mit

$$x = x'$$

$$y = y'\cos(\alpha) + z' \sin(\alpha)$$

$$z = -y'\sin(\alpha) + z'\cos(\alpha)$$ (3.32)

projizieren. Damit ist

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &... ...ght)\left(\begin{array}{c} E_{y'}(\ell) \\ E_{z'}(\ell) \\ \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &... ...ft(\begin{array}{c} E_{y'} \\ E_{z'}e^{j\varphi (\ell)} \\ \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &... ...nd{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y'} \\ E_{z'} \\ \end{array}\right)$$ (3.33)

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &... ...\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$

Ausmultipliziert erhält man

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{... ...eft(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.34)

oder

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{... ...eft(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.35)

Wir klammern $e^{j\varphi (\ell)/2}$ aus und erhalten

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{array}\right) = e^{j\varphi (\ell)/2}$$

$$\left(\begin{array}{cc} \frac{1+cos 2\alpha}{2}e^{-j\varphi (\ell... ...i (\ell)/2}+e^{j\varphi (\ell)/2}\frac{1+cos 2\alpha}{2} \\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.36)

Wir vereinfachen

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{array}\right) = e^{j\varphi (\ell)/2}$$

$$\left(\begin{array}{cc} \cos(\varphi (\ell)/2)-j\cos 2\alpha \sin... ...s(\varphi (\ell)/2)+j\cos 2\alpha \sin(\varphi (\ell)/2) \\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.37)

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass $\alpha = \pi/4$ und $\varphi (\ell) = \pi/2$ ist. Die obige Matrix wird dann

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{... ...eft(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.38)

Eine Lichtwelle, die nur in $y$-Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die $y$ wie auch in die $z$-Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von $\pi/2$. Die Wellengleichung ist dann

$$E_y(x,t) = E_y \cos(kx-\omega t)$$

$$E_z(x,t) = E_z \cos(kx-\omega t -\pi/2) = E_z\sin(kx-\pi/2)$$ (3.39)

Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst $\lambda/4$-Plättchen.

Wellen in einem $\lambda/2$-Plättchen

Der zweite wichtige Spezialfall ist $\alpha = \pi/4$ und $\varphi (\ell) = \pi$. Die obige Matrix wird dann

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{... ...eft(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (3.40)

Licht mit einer Polarisationsrichtung in $y$-Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung $z$ überführt. Eine solche Anordnung heisst $\lambda/2$-Plättchen. Zwei $\lambda/4$-Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.

Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Material wie Kalkspat

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 535])

Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung $c_0$. Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit $c_0$, wenn der $\vec B$ in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit deranderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit $c_{ao} = 1.116 c_0$. Dieses Licht heisst ausserordentilches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch $c_0$, die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen $c_0$ und $c_{ao}$.

Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.

Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:

• Kugelflächen beim ordentlichen Licht
• Rotationsellipsoide beim ausserordentlichen Licht. Die Rotationsachse liegt schief zur Einfallsrichtung.

Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.

Das Nicolsche Prisma, kurz Nicol, ist eine Anwendung der Doppelbrechung zur Polartisation. Der spitze Winkel ist $68^0$, der abgeflachte Winkel genau $90^0$. Die optische Achse liegt senkrecht zur Längsachse in der Bildebene. Das Nicol-Prisma entsteht aus dem rechts gezeigten länglichen Kalkspatkristall, der diagonal geschnitten wird. Er wird mit einem Kitt, dessen Brechungsindex wie der Brechungsindex des ausserordentlichen Strahls ist, wieder zusammengeklebt. der ausserordentliche Strahl geht dann ohne grössere Ablenkung durch das Nicol-Prisma, während der ordentliche Strahl am Kitt totalreflektiert wird und aus dem Strahlengang verschwindet.

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