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Wir verwenden die Tatsache, dass optische Systeme in den einfachsten Fällen lineare Systeme sind. Wenn
und
Intensitätsverteilungen senkrecht zur optischen Achse sind, und
die
Ausgangsverteilung und
die Bildverteilung ist, schreibt man für die Abbildung
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(6.66) |
Die Abbildung ist linear, das heisst, wenn
und
ist, ist
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(6.67) |
Wir nennen die Fouriertransformation von
. Es gilt
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(6.68) |
Wir schreiben
und
Die Fouriertransformation lässt sich dann kompakt
schreiben als
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(6.69) |
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Ein Lichtfleck an der Position der Eingangsebene erzeugt eine Intensitätsverteilung in der
Ausgangsebene, die sowohl vom Beobachtungspunkt
wie auch von
abhängt. Die Impulsantwort
ist
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(6.70) |
Ein optisches System ist translationsinvariant, wenn
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(6.71) |
gilt. Bei einem kontinuierlichen linearen optischen System gilt zwischen der Bildebene und der Eingangsebene die Beziehung
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(6.72) |
Dies ist das Faltungstheorem aus der Fourieroptik. Im Fourierraum wird aus einer Faltung eine Multiplikation, also
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(6.73) |
Wenn die optische Übertragung kohärent verläuft, dann verwendet man die oben definierte kohärente Übertragungsfunktion, die Amplituden verknüpft. Ist die Übertragung nicht kohärent, muss man mit Intensitäten rechnen.
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Das entstehende Beugungsbild eines Punktes ist das Fraunhofersche Beugungsmuster der Blendenöffnung. Die inkohärente Impulsantwort wird
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(6.74) |
Dies bedeutet, dass das Betragsquadrat der Fouriertransformation der Pupillenfunktion
ist.
Für eine kreisförmige Öffnung ist die Pupillenfunktion
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(6.75) |
wobei den Durchmesser der Öffnung und
den Radius darstellt.
Die Rechnung ist in Polarkoordinaten einfacher.
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(6.76) |
sowie in der Bildebene
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(6.77) |
Mit
bekommt man
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(6.78) |
Dabei ist die Grösse
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(6.79) |
die sogenannte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fouriertransformation einer runden Pupille wird also
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||
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||
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(6.80) |
ist die Besselfunktion erster Ordnung. Mit
,
und
, der Pupillenfläche, bekommt man für die komplexe
Amplitude
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(6.81) |
Die Intensitäten als Funktion von sind
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 10. 07. 2002 (PDF)
Bei der Beugungsfigur an einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser ist das erste Minimum bei
.
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Bei dem sogenannten kritischen Winkel , der durch
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(6.82) |
gegeben ist, fällt das Minimum der einen Beugungsfigur gerade auf das Maximum der anderen. Das obige Kriterium wird das Rayleighsche Auflösungskriterium genannt.
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Diese Abbildung zeigt, dass die Definition des Auflösungsvermögens an das mögliche Signal-Rausch-Verhältnis gebunden ist. Mit modernen Detektoren mit 16 Bit Auflösung sind deshalb leicht bessere Grenzen der Auflösung möglich.
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Wenn das zu untersuchende Objekt in ein Medium mit dem Brechungsindex eingebettet ist, dann
verbessert sich die Auflösung auf
, da in diesem Medium die
Wellenlänge ja
ist.