Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung

$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{fresnelbeugung.eps}$

Berechnung der Fresnelbeugung an einer Halbebene.

Bei der Beugung interferiert Licht von Kugelwellen aus allen Punkten mit den Koordinaten

im Beobachtungspunkt mit der Koordinate

. Für eine einzelne Teilwelle ist der Weg

$\begin{displaymath} s = \sqrt{D^2+(x-x')^2} \end{displaymath}$

(6.56)

$\begin{displaymath} \Phi(x,x') = \frac{\Phi_0}{s(x,x')}e^{i\cdot 2\pi s(x,x')/\lambda} \end{displaymath}$

(6.57)

$\begin{displaymath} \Phi(x) = \int_{-d/2}^{d/2} \frac{\Phi_0}{s(x,x')}e^{i\cdot 2\pi s(x,x')/\lambda} dx' \end{displaymath}$

(6.58)

da wir Kugelwellen haben. Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Es existieren die folgenden Näherungen:

Fresnelsche Näherung

$\begin{displaymath} s \approx D + \frac{(x-x')^2}{2D} \end{displaymath}$

(6.59)

und $1/s \approx 1/D$ . Das heisst auch, dass die Phase ist proportional zu

. Unser Integral wird dann

$\begin{displaymath} \Phi(x) = \frac{\Phi_0}{D}\int_{-d/2}^{d/2} e^{i \cdot 2 \p... ...D}\int_{-d/2}^{d/2} e^{i\cdot 2\pi[D+ (x'-x)^2/2D]\lambda} dx' \end{displaymath}$

(6.60)

$\begin{displaymath} \Phi(x) = \frac{\Phi_0}{D}\int_{-d/2}^{d/2} e^{i\cdot 2\pi ... ...lambda}\int_{-d/2}^{d/2} e^{i\cdot 2\pi(x'-x)^2/2D\lambda} dx' \end{displaymath}$

(6.61)

Mit der Variablentransformation $\xi = x'-x$ und damit den Grenzen $\xi_u = -d/2-x$ und $\xi_o=d/2-x$ wird das Integral zu

$\begin{displaymath} \Phi(x) = \frac{\Phi_0}{D}e^{i\cdot 2\pi D/\lambda}\int_{-d/2-x}^{d/2-x} e^{i\cdot 2\pi\xi^2/2D\lambda} d\xi \end{displaymath}$

(6.62)

Das verbleibende Integral $\int_{-d/2-x}^{d/2-x} e^{i\cdot 2\pi\xi^2/2D\lambda} d\xi$ kann als Summe und Differenz der Fresnelschen Integrale geschrieben werden. Wir verwenden, dass $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$ ist.

Dieses Integral, nach Real- und Imaginärteil aufgetrennt und normiert ergibt die Fresnelschen Integrale

$\displaystyle C(w)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_0^w \cos\left(\frac{\pi}{2}\tau^2\right)$
$\displaystyle S(w)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_0^w \sin\left(\frac{\pi}{2}\tau^2\right)$	(6.63)

Die Funktion $\Phi(x)$ kann als Differenz zweier Fresnelscher Integrale geschrieben werden

$\displaystyle \Phi(x)$	$\textstyle =$	$\displaystyle K \left[C\left((d/2-x)\cdot k\right)-C\left((-d/2-x)\cdot k\right)\right]dr$
		$\displaystyle +i\cdot K \left[S\left((d/2-x)\cdot k\right)-S\left((-d/2-x)\cdot k\right)\right]dr$	(6.64)

$\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cornu-spirale.eps}$

Die Cornu-Spirale. Aufgetragen ist die parametrische Kurve mit $-\infty \leq w \leq \infty$ . Die linke untere Spirale entspricht $w=-\infty$ , die rechte obere Spirale $w=\infty$

Die durch

definierte Ortskurve ist die Cornu-Spirale. Dies eFunktion beschreibt eine längentreue Abbildung der reellen Achse

auf die komplexe

-Ebene. Mit dieser Konstruktion kann auf einfachem graphischem Wege das Beugungsmuster konstruiert werden. Dazu zeichnet man vom Ortspunkt der unteren Integrationsgrenze zum Ortspunkt der oberen Integrationsgrenze eine Linie. Deren Länge gibt die Amplitude, deren Winkel zur reellen Achse die Phase. Damit kann das Fresnel-Beugungsbild eines Spaltes berechnet werden.

$\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-m.eps}$ $\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-I.eps}$

Fresnelsches Beugungsmuster an einem Spalt der Breite 1. Links die Amplitude und rechts die Intensität.

Wenn man die untere Integrationsgrenze nach $-\infty$ gehen lässt und bei der oberen Integrationsgrenze

gegen Null gehen lässt, bekommt man das Beugungsbild an einer Kante. Wir tragen nun die Strecke vom Zentrum der linken Spirale ( $F(-\infty) = -1/2 ( 1+i)$ ) aus zum Ortspunkt korrespondierend zu

ab. Wir sehen, dass im Schattenbereich (bis der bewegliche Ortspunkt

erreicht) die Amplitude monoton zunimmt. Dann beginnt eine Oszillation, die als die Interferenzmuster im hellen Bereich beobachtet werden kann.

$\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-halbebene-m.eps}$ $\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-halbebene-I.eps}$

Fresnelsches Beugungsmuster an einer Halbebene. Links die Amplitude und rechts die Intensität.

Fraunhofer-Beugung

Die Gleichung (6.64) kann weiter vereinfacht werden, wenn $\vert x'\vert \ll \vert x\vert$ ist. Dann bekommen wir

$\begin{displaymath} s \approx D +\frac{x^2 -2 x\cdot x'}{2D} = D + \frac{x^2}{2D} - \frac{x}{D} x' \end{displaymath}$

(6.65)

Nun ist die optische Distanz

eine lineare Funktion von

. Die Approximation gilt nur, wenn das Beugungsobjekt klein gegen die Distanz zum Objekt und der Grösse des Beugungsmusters ist. Diese Fernfeld-Approximation nennt man die Fraunhofer-Näherung.

Vergleich

$\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{\t... ...treffen ungef{\uml a}hr parallel auf den Schirm. \end{enumerate}}\end{minipage}}$

Ist eine der obigen Bedingungen nicht erfüllt, spricht man von Fresnelscher Beugung. Eine andere Formulierung der Bedingungen der Fraunhoferschen Beugung ist

$\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{ \... ...stische L{\uml a}nge $d$ des Beugungsobjektes. \end{enumerate}}\end{minipage}}$

$\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI05.eps}$ $\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI10.eps}$

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von und

$\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI20.eps}$ $\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI30.eps}$

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von und

$\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI40.eps}$ $\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fresnel-spalt-mI50.eps}$

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von und