Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 106, 284]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 415]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1038])

Versuch zur Vorlesung: Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien

Versuch zur Vorlesung: $n(\lambda)$ Abhängigkeit beim Prisma (Versuchskarte O-074)

Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden die verschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedes Mal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht, werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

• die Chromatische Aberration bei Linsen (Farbsäume)
• die Möglichkeit, ein Prisma als Spektralapparat zu verwenden
• das Auseinanderlaufen von Signalen in Glasfasern
• der Regenbogen

Um die Physik der Dispersion zu klären, müssen wir ein physikalisches Modell finden, bei dem eine Frequenzabhängigkeit auftritt. Wir erinnern uns aus der Mechanik, dass bei Oszillatoren eine Resonanz auftritt. Als Beispiel kann man ein Feder-Masse-System betrachten.

Modell eines Oszillators

In diesem Feder-Masse-Modell wird die Schwingung durch $\hat x(t) = x_0 \cos\omega t$ angeregt. Die Amplitude verhält sich als Funktion der Frequenz wie

$$x(\omega)=\frac{x_0}{\sqrt{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\frac{\omega^2\omega_0^2}{Q^2}}}$$ (3..8)

Resonanzkurve links als Funktion der Frequenz $\omega$ und rechts als Funktion der Wellenlänge $\lambda$. Der Ausschnitt zeigt, dass es einen Bereich der Resonanzkurve gibt, der genau so aussieht wie der Verlauf des Brechungsindexes.

Aus diesen Kurven gewinnt man die Anregung, dass ein Feder-Masse-System als Modell für die Dispersion geeignet sein könnte.

Links liegt die Elektronenwolke zentriert über dem positiv geladenen Kern. Wenn ein elektrisches Feld $\vec{E}$ eingeschaltet wird, wird die Elektronenwolke entgegengesetzt zu $\vec{E}$ verschoben.

Ein fester Körper besteht aus Atomen. Diese bestehen aus Elektronen, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit über einen Durchmesser von $100 pm$ ausgeschmiert ist, sowie aus einem Atomkern, der im Zentrum der Elektronenwolke liegt und einen Durchmesser von ungefähr $1 fm$ hat. Wenn ein elektrisches Feld $\vec{E}$ angelegt wird, dann verschiebt sich die Elektronenwolke gegen den Kern um eine Distanz $\Delta x$. Diese Verschiebung soll klein gegen den Durchmesser der Elektronenwolke sein. Dann können wir annehmen, dass die Ladung der Elektronenwolke homogen verteilt ist. Da das Coulombgesetz für die elektrostatischen Kräfte die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz hat, hängt die Kraft für die Testladung des Kerns linear von der Auslenkung ab, und zwar so, dass der Schwerpunkt des Kerns und der der Elektronenwolke wieder übereinander gelegt werden sollen. Wir haben also eine zur Auslenkung proportionale rücktreibende Kraft, wie bei einer Feder.

Deshalb nehmen wir an, dass das Elektron-Kern-System als Feder-Masse-System beschrieben werden kann. Da ein Elektron nicht nur Kräfte auf seinen Kern, sondern auch auf die benachbarten ausübt, müssen wir ein dreidimensionales Netz von Federn und Massen betrachten. Wir vereinfachen das System hier auf eine lineare Federkette.

Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [Kän78, pp. 292]) .

Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

$$m\ddot\xi_n = -k\left(\xi_n-\xi_{n-1}\right)+k\left(\xi_{n+1}-\xi_n\right)=k\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-2k\xi_n$$ (3..9)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benach5barte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist $\lambda_{min} = 2a$ und entsprechend $k_{max} = \frac{\pi}{a}$. Beachte, dass $k_{max} =2\pi/\lambda$ die Wellenzahl ist, während $k$ die Federkonstante bedeutet.

Wir setzen $\Omega_0^2 = \frac{4k}{m}$ und erhalten

$$\ddot\xi_n = \Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-\frac{1}{2}\xi_n\right]$$ (3..10)

Wir setzen als vorläufige Lösung für $\lambda>2a$ an: $\xi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}$. Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir $x = na$ und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

$$\xi_n = \xi(n,t) = Ae^{i(kna-\omega t)}$$ (3..11)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

$$-\omega^2e^{ikna} = \Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(e^{ik(n-1)a} + e^{ik(n+1)a}\right) -\frac{1}{2}e^{ikna}\right]$$

$$\omega^2 = \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\frac{1}{2}\left(e^{ika}+e^{-ika}\right)\right]$$

$$= \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\cos(ka)\right]$$

$$= \Omega_0^2\sin^2\frac{ka}{2}$$ (3..12)

Die Dispersionsbeziehung für die Feder-Masse-Kette ist

$$\omega(k) = \Omega_0\sin\frac{ka}{2}$$ (3..13)

• Für lange Wellen $\lambda\gg a$ oder $ka \ll 2\pi$ ist $\sin\frac{ka}{2} \approx \frac{ka}{2}$. Damit ist $\omega(k) \approx \frac{1}{2}\Omega_0 k a$.
  Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit $c_P = \omega/k$ erhalten wir

  $$c_P \approx \frac{1}{2}\Omega_0 a = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} a$$

  
  
  Die Gruppengeschwindigkeit $c_G = \frac{d\omega}{dk}$ ist

  $$c_G \approx \frac{1}{2}\Omega_0 a =c_P$$

  
  

• Für Wellen mit $\lambda = \lambda_{min}=2a$ ist die Phasengeschwindigkeit

  $$c_P = \frac{\Omega_0}{\pi/a} = \frac{\Omega_0 a}{\pi}= \frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}a$$

  
  
  und die Gruppengeschwindigkeit

  $$c_G = \left.\frac{d}{dk}\Omega_0\sin\frac{ka}{2}\right\vert _{\pi/a} = \left.\Omega_0\frac{a}{2}\cos\frac{ka}{2}\right\vert _{\pi/a} = 0$$

  
  

• Für $\lambda<2a$ wird die Welle exponentiell gedämpft.

Wir können das Gefundene auf das Problem des Brechungsindexes wie folgt zurückrechnen:

• Die Phasengeschwindigkeit $c_P$ ist für die Berechnung der Ausbreitung zu nehmen.
• Die Phasengeschwindigkeit ist

  $$c_P(k) = \frac{\omega(k)}{k} = \frac{\Omega_0\sin\frac{ka}{2}}{k}$$

  
  

• Der dazugehörige Brechungsindex ist

  $$n(k) = \frac{c_0}{c_P} = \frac{ c_0 k}{\Omega_0\sin\frac{ka}{2}}$$

  
  
  wobei $c_0$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.
• Mit $k= 2\pi/\lambda$ erhalten wir

  $$n(\lambda)= \frac{ c_0 2\pi}{\lambda\Omega_0\sin\frac{2\pi a}{2\lambda}} =\frac{2\pi c_0}{\Omega_0\lambda\sin\frac{\pi a}{\lambda}}$$

  
  

• Wir verwenden die Werte für Silikat-Flintglas und passen die obige Gleichung an.
  
  
  

  $\lambda$	$n_{ist}$	$n_{berechnet}$
  $400 nm$	$1.660$	$1.655$
  $450 nm$	$1.645$	$1.636$
  $500 nm$	$1.630$	$1.622$
  $550 nm$	$1.620$	$1.612$
  $600 nm$	$1.610$	$1.605$
  $650 nm$	$1.605$	$1.599$
  $700 nm$	$1.600$	$1.595$

  Brechungsindex für Flintglas

  
  
  
  Diese Werte wurden mit den folgenden Parametern erreicht:
  
  
  

  Parameter	Wert
  $c_0$	$3\cdot 10^8 m/s$
  $k/m$	$1.322\cdot 10^{15} 1/s^2$
  oder mit $k=1N/m$: $m$	$7.56\cdot 10^{-16} kg$
  $a$	$7.24\cdot 10^{-8} m$

  Parameter für die Berechnung

  
  
  
  Die Werte für $a$ und $m$ sind grösser als die erwarteten Werte von $a=10^{-10} m$ und $m=1.6\cdot10^{-27} kg \times 28 = 4.5\cdot 10^{-26} kg$. Der Wert für $a$ deutet darauf hin, dass man nicht ein Atom für sich, sondern eine Gruppe von $724$ Atomen betrachten muss. Die Masse in diesem Volumen wäre dann etwa $m=1.7\cdot 10^{-17} kg$. Damit kann man berechnen, dass die Federkonstante $k=1.322\cdot10^{15} s^{-2}\times 1.7\cdot 10^{-17}= 0,023 N/m$ sein muss.

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen $\vec{k}$-Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über $E=\hbar\omega$ auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

$$c_S^2 = \frac{g}{k} = \frac{1}{2\pi}g\lambda$$ (3..14)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

• $c_S = 300 m/s$
• Dann ist $\lambda = 2\pi c_S^2 /g \approx 2*3*300*300/10 = 54000 m$

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation^3.1 besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[Kän78] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle $e^{i(k_0 x -\omega t)}$ sowie der Modulation $G\left(x-\left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)$. Die resultierende Welle ist

$$\xi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0 x -\omega t)}G\left(x- \left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)$$ (3..15)

Die Gruppengeschwindigkeit

$$v_G = \left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}$$ (3..16)

Bei unserem Feder-Masse-System ist $v_G = 0$ wenn $\lambda=2a$ ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn $v_G$ nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

Versuch zur Vorlesung: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit bei Dispersion (Versuchskarte SW-093)

Lösungsmöglichkeiten

• Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsächlich bei Kurzpuls-Lasersystemen angewandt.
• Betrieb des Systems bei einer Wellenlänge, bei der die Dispersion minimal, also $v_G$ möglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt (Wellenlängen 1300 nm und 1500 nm).
• Man setzt die Datenrate auf niedrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der übertragenen Datenrate um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von Kompressionsalgorithmen minimiert werden.