(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 99])
Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor
(6..1) |
(6..2) |
Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.
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Der Strahl von der -ten zur -ten Linse ist durch
(6..3) |
Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der -ten Linse gleich wie nach der -ten ist. Daraus folgt
(6..4) |
Ausmultipliziert erhalten wir
(6..5) |
Um eine Resonatormode zu bekommen muss sein. Wir setzen
(6..6) |
Damit bekommen wir auch
Wir lösen die erste Gleichung nach auf und erhalten
(6..8) |
Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen
(6..9) |
Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (6.7) ein und erhalten
(6..10) |
Durch ausrechnen erhält man, dass ist. Wenn wir setzen, können wir schreiben
(6..11) |
Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ 6.1 Die Lösung der Differentialgleichung ist . Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz mit ein und erhalten
(6..12) |
Die Lösung ist
(6..13) |
Mit und daraus ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also
(6..14) |
mit . Damit wir eine stabile Lösung haben, muss reell sein. Daraus folgt
(6..15) |
Aus der Definition von folgt6.2
(6..16) |
Wenn wir die neuen normierten Koordinaten und einführen, heisst die Stabilitätsbedingung
(6..17) |
Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.
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Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man setzt, wobei der Krümmungsradius des Spiegels ist.
Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.
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Versuch zur Vorlesung: Laser (Versuchskarte AT-052) |
Othmar Marti