Matrixformulierung der Lichtpropagation

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 99])

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

$$\vec{r}= \left(\begin{array}{c} r(z) r'(z) \end{array}\right)$$ (6..1)

wobei $z$ die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix $\mathbf{A}$ beschrieben

$$\vec{r}_{aus} = \mathbf{A} \vec{r}_{ein}$$ (6..2)

Gerade Strecke		$\left[\begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
Dünne Linse, Brennweite $f$ ($f>0$: Sammellinse, $f<0$: Zerstreuungslinse		$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right]$
Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes $n_1$ und $n_2$		$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{array}\right]$
Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius $R$ und den Brechungsindizes $n_1$ und $n_2$		$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \frac{n_2-n_1}{n_2}\frac{1}{R} & \frac{n_1}{n_2} \end{array}\right]$
Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius $R$		$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{array}\right]$
Gerade Strecke		$\left[\begin{array}{cc} \cos\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}\ell\right) & \frac{k}{k... ...}{k}}\ell\right) & \cos\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}\ell\right) \end{array}\right]$

Matrizen für die Strahlausbreitung

Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.

Der Strahl von der $n$-ten zur $n+1$-ten Linse ist durch

$$\vec{r}_{aus} = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 -\frac{1}{f} & ... ...ay}{cc} 1 & d -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right]\vec{r}_{ein}$$ (6..3)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der $n+2$-ten Linse gleich wie nach der $n$-ten ist. Daraus folgt

$$\vec{r}_{aus} = \left[\begin{array}{cc} 1 & d -\frac{1}{f_1} ... ...cc} 1 & d -\frac{1}{f_2} & -\frac{d}{f_2}+1 \end{array}\right]\vec{r}_{ein}$$ (6..4)

Ausmultipliziert erhalten wir

$$\vec{r}_{aus} = \left[\begin{array}{cc} 1-\frac{d}{f_2} & d\cdot\... ...d}{f_1}\right)\cdot\left(1-\frac{d}{f_2}\right) \end{array}\right]\vec{r}_{ein}$$ (6..5)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss $\vec{r}_{aus} = \vec{r}_{ein}$ sein. Wir setzen

$$A = 1-\frac{d}{f_2}$$

$$B = d\cdot\left(2-\frac{d}{f_2}\right)$$

$$C = -\frac{1}{f_1}-\frac{1}{f_2}+\frac{d}{f_1 f_2}$$

$$D = -\frac{d}{f_1}+\left(1-\frac{d}{f_1}\right)\cdot\left(1-\frac{d}{f_2}\right)$$ (6..6)

Damit bekommen wir auch

$$r_{n+2} = A\cdot r_n + B\cdot r_n'$$

$$r_{n+2}' = C\cdot r_n + D\cdot r_n'$$ (6..7)

Wir lösen die erste Gleichung nach $r_n'$ auf und erhalten

$$r_n' = \frac{1}{B}\left(r_{n+2}-A\cdot r_n\right)$$ (6..8)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

$$r_{n+2}' = \frac{1}{B}\left(r_{n+4}-A\cdot r_{n+2}\right)$$ (6..9)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (6.7) ein und erhalten

$$r_{n+4}-\left(A+D\right)r_{n+2} +\left(AD-BC\right)r_n = 0$$ (6..10)

Durch ausrechnen erhält man, dass $AD-BC = 1$ ist. Wenn wir $b = \frac{1}{2}\left(A+D\right) = \left(1-\frac{d}{f_2}-\frac{d}{f_1}+\frac{d^2}{2 f_1 f_2}\right)$ setzen, können wir schreiben

$$r_{n+4} - 2 b r_{n+2} + r_n = 0$$ (6..11)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ $\ddot{r}+ kr = 0$^6.1 Die Lösung der Differentialgleichung ist $r(z) = r(0)\exp\left[\pm i \sqrt{k} z\right]$. Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz $r_s = r_0 \exp\left[i s \Theta\right]$ mit $s=2n$ ein und erhalten

$$e^{2 i \Theta} -2 b e^{i \Theta}+ 1 = 0$$ (6..12)

Die Lösung ist

$$e^{i\Theta} = b \pm \sqrt{b^2-1} = b \pm i\sqrt {1-b^2}$$ (6..13)

Mit $b = \cos\Theta$ und daraus $\sqrt{1-b^2} = \sin\Theta$ ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also

$$r_s = r_{max}\sin(s\Theta + \delta)$$ (6..14)

mit $r_{max} = r_0/\sin\delta$. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss $\Theta$ reell sein. Daraus folgt

$$\vert b\vert\leq 1$$ (6..15)

Aus der Definition von $b$ folgt^6.2

$$-1 \leq 1-\frac{d}{f_1}-\frac{d}{f_2}+\frac{d^2}{2f_1 f_2} \leq 1$$

$$0 \leq \left(1-\frac{d}{2f_1}\right)\left(1-\frac{d}{2f_2}\right) \leq 1$$ (6..16)

Stabilität

Wenn wir die neuen normierten Koordinaten $x = d/2f_1$ und $y = d/2f_2$ einführen, heisst die Stabilitätsbedingung

$$0 \leq \left(1-x\right)\left(1-y\right) \leq 1$$ (6..17)

Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.

Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man $f = R/2$ setzt, wobei $R$ der Krümmungsradius des Spiegels ist.

Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.

Versuch zur Vorlesung: Laser (Versuchskarte AT-052)