Bilderzeugung durch Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 238]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1068]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 41])

Versuch zur Vorlesung: Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Winlens Software

Brechung von Licht an einer gekrümmten Glasoberfläche

Gleich wie mit Spiegeln können Abbildungen mit Linsen durchgeführt werden. Für kleine Winkel gilt $\sin\Theta \approx \Theta$. Wir erhalten

$$n_1 \Theta_1 = n_2 \Theta_2$$ (2..10)

$\beta$ ist der Aussenwinkel von $P'CA$. Also ist

$$\beta = \Theta_2+\gamma = \frac{n_1}{n_2}\Theta_1 +\gamma$$ (2..11)

$\Theta_1$ ist der Aussenwinkel von $PAC$.

$$\Theta_1 = \alpha +\beta$$ (2..12)

Nach Elimination von $\Theta_1$ folgt

$$n_1 \alpha +n_2 \gamma = (n_2-n_1)\beta$$ (2..13)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass $\alpha \approx s/g$, $\beta = s/r$ und $\gamma = s/b$ ist, wobei $g$ die Gegenstandsweite, $b$ die Bildweite und $r$ der Krümmungsradius der Oberfläche ist. Eingesetzt:

$$\frac{n_1}{g}+\frac{n_2}{b}=\frac{n_2-n_1}{r}$$ (2..14)

Hier sind, im Gegensatz zum sphärischen Spiegel, die reellen Bilder hinter der Grenzfläche.

Nach dem Strahlensatz ist $n_1\frac{\textrm{Gegenstandsgrösse}}{g} = n_2\frac{\textrm{-Bildgrösse}}{b}$. Der Abbildungsmassstab ist also

$$V = \frac{\textrm{Bildgrösse}}{\textrm{Gegenstandsgrösse}} = -\frac{n_1 b}{n_2 g}$$ (2..15)

Dünne Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 242]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 106]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1071])

Versuch zur Vorlesung: Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Dünne Linse. Brechung tritt an beiden Oberflächen auf.

Wir betrachten eine dünne Linse, das heisst, dass wir die Dicke des Glases vernachlässigen. Die Linsenoberflächen sollen die Krümmungsradien $r_1$ und $r_2$ (rechts) haben. Die Linse mit dem Brechungsindex $n$ ist in Luft (Brechungsindex $=1$). Ein Gegenstand befindet sich im Abstand $g$ links vor der ersten Ebene, und damit auch im Abstand $g$ vor der Mittelebene. Die Bildweite $b_1$ aufgrund der ersten Oberfläche nach wird Gleichung (2.14) mit

$$\frac{1}{g}+\frac{n}{b_1}=\frac{n-1}{r_1}$$ (2..16)

Das Bild ist virtuell, da das Licht auch noch an der zweiten Grenzfläche gebrochen wird. In unserer Abbildung ist die Bildweite $b_1$ negativ. Diese Bildweite $b_2$ ist für die zweite Oberfläche die Gegenstandsweite $g_2 = -b_1$. Die Abbildungsgleichung dort lautet

$$\frac{n}{g_2}+\frac{1}{b}=\frac{1-n}{r_2}$$ (2..17)

Eingesetzt und addiert ergibt sich

$$\frac{1}{g}+\frac{1}{b} = \frac{n-1}{r_1}+\frac{1-n}{r_2} = (n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$

$$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$ (2..18)

wobei wir $g=\infty$ gesetzt haben. Dann ist $b=f$ die Brennweite.

Abbildungsgleichung

$$\frac{1}{g}+\frac{1}{b} =\frac{1}{f}$$ (2..19)

• Strahlen, die die Linse auf der optischen Achse schneiden, werden nicht abgelenkt.
• Achsenparallele Strahlen werden im Brennpunkt fokussiert
• Strahlen aus dem Brennpunkt werden zu achsenparallelen Strahlen.

Versuch zur Vorlesung: Brennweitenbestimmung nach Bessel (Versuchskarte O-055)

Die zwei Positionen einer Linse, bei denen eine scharfe Abbildung erreicht wird.

Zur Berechnung verwenden wir die Abbildungsgleichung

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$$ (2..20)

mit der Nebenbedingung

$$g+b=\ell$$ (2..21)

Aus den beiden Gleichungen erhalten wir

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{\ell-g}= \frac{\ell}{g(\ell-g)}$$ (2..22)

Damit bekommen wir

$$g(\ell-g) = \ell f$$ (2..23)

$$g^2 -\ell g +\ell f = 0$$

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist:

$$g_\pm = \frac{\ell \pm \sqrt{\ell^2-4\ell f}}{2}$$ (2..24)

$$= \frac{\ell}{2}\left(1\pm\sqrt{1-4\frac{f}{\ell}}\right)$$

Die Linse wird auf die zwei Positionen eingestellt, in denen eine scharfe Abbildung geschieht. Der Abstand dieser zwei Positionen ist:

$$\Delta g =g_+-g_- = {\ell}\sqrt{1-4\frac{f}{\ell}}$$ (2..25)

Dann ist

$$\left(\frac{\Delta g}{\ell}\right)^2=1-4\frac{f}{\ell}$$ (2..26)

Somit ist die Brennweite

$$f = \frac{\ell}{4}\left(1-\frac{\Delta g^2}{\ell^2}\right)$$ (2..27)

Wellenfronten beim Durchgang durch eine Linse

Licht breitet sich in einem optisch dichteren Medium langsamer aus als im dünneren. Bei einer Konvexlinse treffen die achsennahen Lichtstrahlen eher auf das Glas als die achsenferneren. Diese überholen deshalb die achsennahen Lichtstrahlen. Im Wellenbild bedeutet dies, dass ebene Wellen zu konzentrisch auf einen Punkt zulaufenden Wellen werden: die Linse fokussiert.

Zerstreuungslinse

Bei einer Zerstreuungslinse sind die Oberflächen konkav gekrümmt. Die Krümmungsradien sind negativ. Eine Konkavlinse (Zerstreuungslinse) wirkt wie ein Konvexspiegel.

Bildkonstruktion bei Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 250]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 107]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1075])

Bei einer Linse gelten die folgenden Regeln zur Konstruktion der Bilder:

• Achsparallele Strahlen werden in den Fokus fokussiert. Bei Konkavlinsen scheinen die aus achsparallelen Strahlen hervorgegangenen Strahlen aus dem Brennpunkt zu kommen.
• Strahlen, die Die Linse auf ihrer optischen Achse treffen, werden nicht abgelenkt.

Abbildung bei einer Konvexlinse

Die Konstruktion der Abbildung bei einer Konvexlinse ist in der obigen Abbildung gezeigt. $g$ ist die Gegenstandsweite, $b$ die Bildweite und $f$ die Brennweite. Die Vergrösserung ist:

$$V = \frac {B}{G} = -\frac{b}{g}$$ (2..28)

Abbildung bei einer Konkavlinse

Die Bildkonstruktion bei einer Konkavlinse verläuft analog zu der bei einer Konvexlinse.

Dicke Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 363]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 100]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1077])

Dicke Linse

Eine dicke Linse wird wie eine dünne berechnet, mit der Ausnahme, dass alle Messungen von Distanzen von den jeweiligen Hauptebenen aus gemacht werden müssen.

Mehrere Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 258]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 116]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1078])

Geometrie eines Doppellinsensystems

Bei mehreren Linsen berechnet man aus der Brennweite $f_1$ und der Gegenstandsweite $g_1$ die Bildweite $b_1$. Die Lage des Bildes gibt die Gegenstandsweite $g_2$ der zweiten Linse. Mit der Brennweite der zweiten Linse $f_2$ kann das Bild $b_2$ berechnet werden. Zur Berechnung benötigen wir noch den Abstand der Linsen $\ell$. Die Gegenstandsweite der zweiten Linse ist $g_2=\ell-b_1$.

Aus der Abbildungsgleichung erhalten wir

$$b_1 = \frac{f_1g_1}{g_1-f_1}$$ (2..29)

$$b_2 = \frac{f_2g_2}{g_2-f_2}$$

Durch die Kombination der beiden Gleichungen erhalten wir

$$b_2 = \frac{f_2(\ell-b_1)}{\ell-b_1-f_2}$$ (2..30)

$$= \frac{f_2(\ell-\frac{f_1g_1}{g_1-f_1})}{\ell-\frac{f_1g_1}{g_1-f_1}-f_2}$$

$$= \frac{f_2(\ell(g_1-f_1)-f_1g_1)}{(\ell-f_2)(g_1-f_1)-f_1g_1}$$

Diese Gleichung hat eine Divergenz bei $(\ell-f_2)(g_1-f_1)-f_1g_1=0$, das heisst bei der Gegenstandsweite

$$g_1 = \frac {(\ell-f_2)f_1}{\ell-f_1-f_2}$$ (2..31)

Beispiel

• Die Linse 1 sei bei der Position $x_1=0 cm$, die Linse 2 bei der Position $x_2 = 20 cm$.
• Die Brennweiten seien $f_1 = 5 cm$ und $f_2 = 10 cm$
• Der Gegenstand sei bei $x_g = -6 cm$
• Dann ist $g_1 = 6 cm$. Daraus folgt mit der Linsengleichung $b_1 = 1/(1/f_1 - 1/g_1) = 30 cm$
• Es ist also $x_b = 30 cm$
• Da $x_2 = 20 cm$ ist $g_2 = -10 cm$
• Damit erhalten wir $b_2 = 1/(1/f_2 -1/g_2) = 1/(1/10 cm - 1/(-10 cm)) = 5 cm$

Die Position des Bildes für verschiedene $x_g = -g_1$ im obigen Beispiel