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Unterabschnitte


Elektrische Felder von Leitern

\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 24. 10. 2002 behandelt}}
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 645])



Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien ES-4

Die elektrischen Felder

werden im Übungsblatt 01 vom 17. 10. 2002 (HTML oder PDF) berechnet.



Versuch zur Vorlesung: Faraday-Becher ES-9



Versuch zur Vorlesung: Faraday-Käfig ES-21



Versuch zur Vorlesung: Van-de-Graaff-Generator ES-19

Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.


\includegraphics[width=0.4\textwidth]{elektrostatik-007.eps}


Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius $r>R$ ist


\begin{displaymath}
Q_{ges}=\oint E_r dA = E_r 4\pi r^2
\end{displaymath} (2.17)

Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche $Q$ ist, haben wir


\begin{displaymath}
\frac{Q}{\epsilon_0} = E_r 4\pi r^2
\end{displaymath} (2.18)

Damit ist für $r>R$


\begin{displaymath}
E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}
\end{displaymath} (2.19)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für $r<R$ ist die eingeschlossene Ladung $Q=0$. Damit ist auch $\Phi_{ges} = E_r 4\pi
r^2 = 0$ und folglich für $r<R$


\begin{displaymath}
E_r = 0
\end{displaymath} (2.20)


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{kugelschale.eps}

Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale


Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius $R$ wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für $r>R$ ist wie oben $\Phi_{ges} = E_r 4\pi r^2 = Q/\epsilon_0$. Also ist für $r>R$


\begin{displaymath}
E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}
\end{displaymath} (2.21)

Wenn die Ladungsdichte $\rho = Q/V = Q/(\frac{4\pi}{3}R^3)$ ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit $r<R$ umschlossene Ladung $Q' = \rho V(r) = \rho \frac{4\pi}{3} r^3$


\begin{displaymath}
Q(r) = \frac{Q}{\frac{4\pi}{3}R^3} \frac{4\pi}{3} r^3 = Q \frac{r^3}{R^3}
\end{displaymath} (2.22)

Weiter haben wir $E_r 4\pi\epsilon_0 r^2 = Q/\epsilon_0$. Also ist für $r<R$


\begin{displaymath}
E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q r}{R^3}
\end{displaymath} (2.23)


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{kugelhomogen.eps}



\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-009.eps}


Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.

Wenn $\sigma$ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist


\begin{displaymath}
\frac{\sigma A}{\epsilon_0} = \Phi = \oint E_n  dA = 2 A E_n
\end{displaymath} (2.24)

da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.

Also ist


\begin{displaymath}
E_r = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}
\end{displaymath} (2.25)

homogen im Raum.


\includegraphics[width=0.4\textwidth]{elektrostatik-010.eps}


Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von $E_t = 30 \cdots 300 J/m^2$ haben. Die Definition von $E_t$ ist


\begin{displaymath}E_t = \frac{v_s}{A}\int F(t) dt \approx \frac{ v_s F \Delta t}{A} \end{displaymath}

wobei $v_s = 0.01 m/s$ die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und $A$ die Kontaktfläche ist. $\Delta t = 0.1s$ ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte $\sigma$ ist $E=\sigma/\epsilon_0$. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte $\sigma$ ist dann $F/A = \sigma^2/\epsilon_0$. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir


\begin{displaymath}\frac{F}{A} = \frac{\sigma^2}{\epsilon_0} = \frac{E_t }{v_s \Delta t} \end{displaymath}

und daraus die Flächenladungsdichte


\begin{displaymath}\sigma = \frac{e}{d^2} = \sqrt{\frac{\epsilon_0 E_t }{v_s\Delta t}} \end{displaymath}

Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen $e$ im Abstand $d$ angebracht sind. $d$ ist dann


\begin{displaymath}d = \sqrt{e \sqrt{\frac{v_s\Delta t}{\epsilon_0 E_t }}} \end{displaymath}

Wenn wir $E_t$ einsetzen erhalten wir $d \approx 10 nm \ldots 18 nm$. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.

Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird $E=\sigma/\epsilon_0$.


\includegraphics[width=0.4\textwidth]{elektrostatik-011.eps}


\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 31. 10. 2002 behandelt}}


Materialien

Übungsblatt 02 vom 31. 10. 2002 (HTML oder PDF)


Folien zur Vorlesung am 31. 10. 2002 (PDF)

Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung einer Platte gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum $E=\sigma/\epsilon_0$.



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.}\end{minipage}}

Daraus folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.


\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-008.eps}


Der gesamte Fluss ist


\begin{displaymath}
\Phi_{ges} = \oint E_n dA = \frac{Q}{\epsilon_0}
\end{displaymath} (2.26)

da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir


\begin{displaymath}
\oint E_n dA = E_n \oint\limits_{\textrm{obere Fl{\uml a}che}} dA = E_n A = \frac{1}{\epsilon_0} A\sigma
\end{displaymath} (2.27)

und


\begin{displaymath}
E_n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{displaymath} (2.28)

Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{\b...
...d hat
die Gr{\uml o}sse $E_r = \sigma/\epsilon_0$\end{itemize} }\end{minipage}}


Influenz und Bildladung


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-023.eps}
Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden.


Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung $\sigma(\vec
r)$, die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung $q$ im Abstand $a$ von der Oberfläche eines Leiter im Leiter drin eine Bildladung $-q$ auch im Abstand $a$ von der Oberfläche verwendet.

Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung $q$ im Abstand $a$ von einem Leiter mit der Kraft


\begin{displaymath}
F(a) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}
\end{displaymath} (2.29)

angezogen wird. Die Senkrechtkomponente ($z$-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand $r$ vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche


\begin{displaymath}
E_z(r,a) = -\frac{2}{4\pi\epsilon_0}\frac{qa}{\left(r^2+a^2\right)^{3/2}}
\end{displaymath} (2.30)

Damit ist die Oberflächenladungsdichte


\begin{displaymath}
\sigma(r) = -\frac{1}{2\pi}\frac{qa}{\left(r^2+a^2\right)^{3/2}}
\end{displaymath} (2.31)

Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden2.5.


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm