Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien ES-4
Die elektrischen Felder
Versuch zur Vorlesung: Faraday-Becher ES-9
Versuch zur Vorlesung: Faraday-Käfig ES-21
Versuch zur Vorlesung: Van-de-Graaff-Generator ES-19
Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.
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Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius ist
(2.17) |
Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche ist, haben wir
(2.18) |
Damit ist für
(2.19) |
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für ist die eingeschlossene Ladung . Damit ist auch und folglich für
(2.20) |
Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale
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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für ist wie oben . Also ist für
(2.21) |
Wenn die Ladungsdichte ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit umschlossene Ladung
(2.22) |
Weiter haben wir . Also ist für
(2.23) |
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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.
Wenn die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist
da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.
Also ist
(2.25) |
homogen im Raum.
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Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von haben. Die Definition von ist
wobei die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und die Kontaktfläche ist. ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte ist . Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte ist dann . Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir
und daraus die Flächenladungsdichte
Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen im Abstand angebracht sind. ist dann
Wenn wir einsetzen erhalten wir . Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.
Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird .
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Materialien
Übungsblatt 02 vom 31. 10. 2002 (HTML oder PDF)
Folien zur Vorlesung am 31. 10. 2002 (PDF)
Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung einer Platte gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum .
Daraus folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.
Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.
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Der gesamte Fluss ist
(2.26) |
da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir
(2.27) |
und
(2.28) |
Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:
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Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung , die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung im Abstand von der Oberfläche eines Leiter im Leiter drin eine Bildladung auch im Abstand von der Oberfläche verwendet.
Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung im Abstand von einem Leiter mit der Kraft
(2.29) |
angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche
(2.30) |
Damit ist die Oberflächenladungsdichte
(2.31) |
Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden2.5.