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(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 128])
Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt, nun aber vom Ruhesystem der Platte
aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.
Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.
|
Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei
parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit
bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.
Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem
ist
![\begin{displaymath}
E_z = \frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{displaymath}](img861.gif) |
(3.136) |
wenn
die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist
![\begin{displaymath}
B_x = \mu_0\cdot j = \mu_0 \cdot \sigma\cdot v_0 = \frac{v_0\cdot \sigma}{\epsilon_0\cdot c^2}
\end{displaymath}](img862.gif) |
(3.137) |
Die entsprechenden Felder im Bezugssystem
müssen nun berechnet werden. Auch in
sind die Platten
homogen geladen. Also haben wir
![\begin{displaymath}
E_z' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0}
\end{displaymath}](img863.gif) |
(3.138) |
und
![\begin{displaymath}
B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\epsilon_0\cdot c^2}
\end{displaymath}](img864.gif) |
(3.139) |
Wir brauchen die Transformationsgesetze für
und
wenn
das Ruhesystem der Ladungen und
ist. Wir
bekommen
![\begin{displaymath}
\sigma' = \sigma\cdot\frac{\gamma_0'}{\gamma_0} = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-v_0'^2/c^2}}
\end{displaymath}](img874.gif) |
(3.141) |
und damit
und damit
![\begin{displaymath}
\sigma'\cdot v_0' = \sigma\gamma\left(v_0-v\right)
\end{displaymath}](img881.gif) |
(3.143) |
Damit ist
![\begin{displaymath}
E_z' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0} = \gamma\left(\frac {\sig...
... v_0}{\epsilon_0c^2}\right)= \gamma\left(E_z-v\cdot B_x\right)
\end{displaymath}](img882.gif) |
(3.144) |
und
![\begin{displaymath}
B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\epsilon_0\cdot c^2}=\gamma...
...epsilon_0
c^2}\right)=\gamma\left(B_x-\frac{v}{c^2}E_z\right)
\end{displaymath}](img883.gif) |
(3.145) |
Damit sind die transversalen Felder
und
in
Linearkombinationen der Felder
und
in
.
Die Transformationseigenschaften von
und
erhält man, indem man die obige Anordnung um
um
die
-Achse dreht. Dann gehen
über. Die Transformationsgleichungen sind dann
Skizze zur Transformation eines longitudinale -Feldes (links) und des -Feldes
(rechts).
|
Die Transformation des longitudinalen
-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur
Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines
Plattenkondensators3.6nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist
Also ist auch
![\begin{displaymath}
E_y' = E_y
\end{displaymath}](img906.gif) |
(3.149) |
Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten
Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist
![\begin{displaymath}
B_y = \mu_0\frac{I\cdot N}{L}
\end{displaymath}](img907.gif) |
(3.150) |
wobei
die Anzahl Windungen und
die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule
sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit
ist
![\begin{displaymath}
B_y = \mu_0\frac{N}{L}\frac{dQ}{dt}
\end{displaymath}](img910.gif) |
(3.151) |
Die Anzahl Windungen
und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann
![\begin{displaymath}
B_y' = \mu_0\frac{N}{L'}\frac{dQ}{dt'}
\end{displaymath}](img911.gif) |
(3.152) |
Mit der Längenkontraktion
und der Zeitdilatation
folgt, dass sich die
relativistischen Effekte kompensieren und damit
![\begin{displaymath}
B_y' = B_y
\end{displaymath}](img914.gif) |
(3.153) |
ist.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm