Übungsblatt 07
Grundkurs IIIb für Physiker

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

3. 2. 2003 oder 10. 2. 2003

Aufgaben für die Übungsstunden

Magnetische Eigenschaften der Materie, Maxwellsche Gleichungen, PDF-Datei

1. Es soll gezeigt werden, dass die allgemeine Formulierung des Ampèreschen Gesetzes
   
   $$\oint\limits_S \vec B \cdot d\vec s = \mu_0 I + \mu_0\epsilo... ...\!\!\!\displaystyle\int{}(\vec i +\epsilon_0d\vec E/dt)d\vec a$$
   
   
   und das Gesetz von Biot-Savart zum gleichen Ergebnis kommen, wenn beide auf

   
   

   angewandt werden.

   Zwei Ladungen $+Q$ und $-Q$ befinden sich im Abstand $a$ vom Nullpunkt auf der $x$-Achse bei $x=-a$ und $x=a$. Entlang der Verbindungslinie fliesst ein Strom $I = -dQ/dt$. Der Punkt $P$ befindet sich auf der $y$-Achse im Abstand $R$.

   1. Zeigen Sie unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart, dass das Magnetfeld am Punkt $P$ durch
      
      $$B = \frac{\mu_0 I a}{2\pi R\sqrt{R^2+a^2}}$$
      
      

   2. Ein kreisförmiger Streifen (Mittelpunkt im Ursprung) mit dem Radius $r$ und der Breite $dr$ liege in der $y-z$-Ebene. Zeigen Sie, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch diesen Streifen durch
      
      $$E_x dA = (Q/\epsilon_0) a(r^2+a^2)^{-3/2}r dr$$
      
      
      gegeben ist.
   3. Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus 1b den gesamten Fluss $\phi_e$ durch die kreisförmige Ebene mit dem Radius $R$. Es ergibt sich
      
      $$\epsilon_0\phi_e = Q(1-a/\sqrt{a^2+R^2})$$
      
      

   4. Berechnen Sie den Verschiebungsstrom $I_V$ und zeigen Sie, dass
      
      $$I+I_V = I\frac{a}{\sqrt{a^2+R^2}}$$
      
      

   5. Berechnen Sie mit dem Ampèreschen Gesetz die Aufgabe 1a und zeigen Sie, dass man für $B$ das gleiche Ergebnis erhält.
2. Ein Eisenstab mit der Länge $1.4m$ und dem Durchmesser $2 cm$ habe die homogene Magnetisierung $M=1.72\cdot 10^6 A/m$, die entlang des Stabes ausgerichtet sei. Der Stab sei an einem dünnen Faden aufgehängt und befinde sich in der Mitte (koaxial) einer langen Spule in Ruhe. Durch die Spule werde kurzzeitig ein Strom geschickt, durch dessen Magnetfeld der Stab plötzlich entmagnetisiert werde. Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit des Stabes unter der Annahme, dass sein Drehimpuls erhalten bleibe? Nehmen Sie an, dass $\vec m_m = q\vec L/(2m)$ gelte, wobei $m$ die Masse des Elektrons und $q=-e$ dessen Ladung ist. Der Effekt, der dieser Aufgabe zugrunde liegt, ist der Einstein-De Haas-Effekt.
3. Zwei lange, leitende Streifen seien $20 m$ breit und $0.3mm$ dick. Die Streifen liegen in parallelen Ebenen und seien durch einen ferromagnetischen Abstandshalter (Dicke $4 cm$, relative Permeabilität $\mu_r=400$) voneinander getrennt. Durch die Streifen fliesst ein Strom von je $4800 A$, aber mit entgegengesetzen Richtungen. Berechnen Sie für das Volumen zwischen den Streifen (weit weg von den Rändern)
   1. $B_0$
   2. $B$
   3. Die magnetische Energie pro Volumeneinheit.
4. Eine Kompassnadel habe die Länge $3 cm$, den Radius $0.85 cm$ und die Dichte $7.96 g/cm^3$. Sie kann horizontal frei rotieren, und die horizontale Komponente des Magnetfeldes betrage $0.6 Gauss$. Bei kleiner Auslenkung ergebe sich eine harmonische Schwingung um den Mittelpunkt mit $\nu = 1.4 Hz$.
   1. Wie gross ist das magnetische Dipolmoment der Nadel?
   2. Wie gross ist die Magnetisierung $M$
   3. Wie gross ist der Ampèresche Strom an der Oberfläche der Nadel?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 1. Das Magnetfeld, das am Punkt $P$ von einem Teilstrom hervorgerufen wird, ist $B=\left[ \mu_{0}I/\left( 4\pi R\right) \right] \left( \sin\theta _{1}+\sin\theta_{2}\right)$. Die Abbildung zeigt die entsprechenden Grössen:

      

      Hier ist $\sin\theta_{1}=\sin\theta_{2}=a/\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$.

      Daher ist $B=\left[\mu_{0}Ia/\left( 2\pi R\right) \right] \left( R^{2}+a^{2}\right)^{-1/2}$.

   2. Die folgende Abbildung zeigt, wie das elektrische Feld an einem Punkt auf der $y$-Achse im Abstand $r$ von der $x$-Achse erhalten wird.

      

      Es ist
      

      $$E_{x}=2\frac{1}{\left( 4\pi\epsilon_{0}\right)} \frac{Q}{\lef... ...silon_{0}\right)} \frac{Qa}{ \left( r^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}$$
      
      
      Die Fläche des Kreises ist $dA=2\pi rdr$, und es folgt
      
      $$E_{x}dA=\frac{Q}{\epsilon_{0}} \frac{a}{\left( r^{2}+a^{2}\right) ^{3/2}}rdr$$
      
      
      .
   3. Um den elektrischen Fluss heraus, zum Radius $R$, zu erhalten, integrieren wir $E_{x}dA=E_{x}2\pi rdr$ von $r=0$ bis $r=R$:
      $$\begin{eqnarray*} \phi_{e} & =& {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{R}}E_{x}2\pi r... ...[ \frac{1}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}+\frac{1}{a}\right] \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      Damit ist
      
      $$\epsilon_{0}\phi_{e}=Q\left[ 1-\frac{a}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}\right]$$
      
      
      .
   4. Nach Definition ist $I_{V}=\epsilon_{0}d\phi_{e}/dt$. Jedoch ist im Ausdruck für $\phi_{e}$ die einzige Grösse, die von der Zeit abhängt, $Q$. Mit $dQ/dt=-I$ erhalten wir $I_{V}=-I\left[ 1-a/\left(R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}\right]$ und $I+I_{V}=Ia/\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$.
   5. Das Gesetz von Ampère besagt, dass das Linienintegral über $\vec B\cdot d\vec \ell$ längs eines Kreises vom Radius $R$ in der $yz$-Ebene mit dem Mittelpunkt am Ursprung, das gleich $B\left( 2\pi R\right)$ ist, auch gleich $\mu_{0}\left( I+I_{V}\right)$ sein muss. Gemäss dem Ergebnis in 1d ist das $\mu_{0}Ia\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$. Damit wird
      
      $$B=\frac{\mu_{0}Ia}{2\pi R} \frac{1}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}$$
      
      
      in Übereinstimmung mit dem Resultat in Teil 1a, das wir nach dem Biot-Savart-Gesetz erhielten.
2. Mit dem im Text gegebenen Ergebnis ist der Drehimpulsbetrag
   
   $$L=\frac{2m_{e}}{e} m_{m}= \frac{2m_{e}}{e} M_{s}V=\frac{2m_{e}}{e} M_{s}\left( \pi r^{2}l\right)$$
   
   
   Er ist verknüpft mit dem magnetischen Moment des Stabes, das entlang dessen Längsachse ausgerichtet ist. Wenn der Stab um diese Achse rotiert, ist sein Drehimpuls $L=I\omega$. Darin ist $I$ das Trägheitsmoment einer Scheibe. Es folgt
   
   $$L=\frac{1}%% {2}mr^{2}\omega=\frac{1}{2}\left( \rho\pi r^{2}\ell\right) r^{2}\omega$$
   
   
   Das setzen wir gleich dem Ausdruck für den Drehimpuls und erhalten
   
   $$\omega=4m_{e}M_{s}/\left( e\rho r^{2}\right) =4,92\cdot10^{-5}s^{-1}$$
   
   
   Das ist eine äusserst geringe Frequenz.
3. 1. Das magnetische Feld zwischen den Platten ist homogen und liegt parallel zu den Platten; ausserhalb der Platten ist das Feld null. Wir wenden nun das Ampère-Gesetz auf einen Weg der Länge $l$ und der Breite $h$ an. Es ergibt sich $Bl=\mu_{0}\left( I/l\right) l$ bzw.
      
      $$B_{0}=\mu_{0}%% I/l=3,02\cdot10^{-4}T$$
      
      

   2. $B=\mu_{r}B_{0}=0.121T$.
   3. $\omega_{m}=\frac{1}{2}B^{2}/\mu_{0}=\frac{1}{2}\left( B_{0}^{2}/\mu _{0}\right) \mu_{r}=14.5J/m^{3}$.
4. 1. Das magnetische Moment der Kompassnadel ist $m_{m}=4\pi^{2}v^{2}I/B=\frac{1}{3}\pi^{3}v^{2}\rho r^{2}%% \ell^{3}/B=0.0524A\cdot m^{2}$.
   2. Die Magnetisierung ist $M=m_{m}/V=m_{m}/\left( \pi r^{2}l\right) =7.70\cdot10^{5}A/m.$
   3. Die Magnetisierung $M$ hat die Dimension Stromstärke pro Länge und ist gleich dem Oberflächenstrom pro Längeneinheit entlang der Nadel; es folgt $I=M\ell=2.31\cdot10^{4}A$.

Klausur

• Datum: 13. 2. 2003
  Ort: Hörsaal H2
  Zeit: 8:00-10:00

• Thema: Die ganze Vorlesung, so wie sie unter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003 zu finden ist.

• Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!

• Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte. Es wird 6 Aufgaben geben. Zum Bestehen werden voraussichtlich 12 Punkte gefordert.

• Nachklausur: Freitag, 2. 5. 2003, 10:00-12:00

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