Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz

Dieser Stoff wurde am 28. 10. 2004 behandelt

Nach der Gleichung (2.9) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche $A$ durch

$$Q = \displaystyle\iiint\limits_{V(A)}^{} \rho_{el}(\vec{r}) dV$$ (2.12)

ausgedrückt werden.

Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung $Q$. Wir definieren den Normalenvektor am Ort $\vec{r}$ als $\vec{n}= \vec{r}/ \vert\vec{r}\vert = \vec{r}/r$. Das Oberflächenelement $da$ ist $da = r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$.

Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist

$$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert^3}$$ (2.13)

Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz

$$\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}} \vec{E}\cdot \vec{n}da = \displaystyle\int\limits_{Kugel}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\v... ...r}\vert^3}\cdot \frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert}r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$ = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}}\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$ = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ (2.14)

Die Grösse $\Phi = \displaystyle\int_{\textrm{Oberfl\uml {a}che}} \vec{E}\cdot d\vec{a}$ ist der Fluss des Vektorfeldes $\vec{E}$ durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung

$$\vec{D}(\vec{r}) = \epsilon_0 \vec{E}(\vec{r})$$ (2.15)

einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist $[\vec{D}] = C/m^2 = As/m^2$. Weiter ist

$$\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}} \vec{D... ...aystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl\uml {a}che}} \vec{D}\cdot \vec{n}da = Q$$ (2.16)

Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen $S$, die das Volumen $V(S)$ einschliesst.

Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.

$$\displaystyle\iint\limits_{A}^{} \vec{D}(\vec{r}) \cdot d\vec{a}(\vec{r}) = \displaystyle\iint\limits_{A}^{} \vec{D}(\vec{r}) \cdot \vec{n}(\vec{r}) da(\vec{r})$$ (2.17)

$$ = Q_{\textrm{in A}}$$

$$ = \displaystyle\iiint\limits_{V(A)}^{} \rho_{el}(\vec{r}) dV$$

Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.41) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in

$$\displaystyle\iint\limits_{A}^{} \vec{D}(\vec{r}) \cdot d\vec{a}(... ...vec{D}(\vec{r}) dV = \displaystyle\iiint\limits_{V(A)}^{} \rho_{el}(\vec{r}) dV$$ (2.18)

Diese Gleichung muss für alle Oberflächen $S$ gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{D}(\vec{r}) = \rho_{el} (\vec{r})$$ (2.19)

Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.

Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.19) : ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{D}(\vec{r}) = 0$. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r})$ gilt nämlich ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}(\vec{r}) = 0$.

Materialien Maple 8 Datei zur Berechnung von Divergenzen