Das Ampèresche Durchflutungsgesetz

Dieser Stoff wurde am 13. 1. 2005 behandelt

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])

Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom $I$ erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke $B = \frac{\mu_0}{2\pi r} I$ charakterisiert, wobei das $\vec{B}$-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises $S$, ergibt

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d \vec{s}= \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\oint\limits_S r d\phi = \mu_0 I$$ (3.255)

Dieses Linienintegral ist unabhängig von $r$. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.

Ampèresches Durchflutungsgesetz

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \mu_0\int\limits_{A(S)}\!\!\!\!\!\!\int \vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.256)

Der Beweis geht in mehreren Schritten:

Eine beliebige Kurve $S$ um einen geraden Leiter

$_{}$

$d\vec{s}'$ ist die Projektion des Weglängenelementes $d\vec{s}$ auf der Kurve $S$ auf die in der $xy$-Ebene liegende Projektion der Kurve $S'$. Es ist

$$\vec{B}\cdot d\vec{s}= \vec{B}\cdot d{\vec{s}}' = B(r) \cdot \cos\alpha ds' = B(r)\cdot r\cdot d\phi$$

da $\vec{B}(r)$ keine Komponente in die $z$-Richtung hat. Es ist

$$\vec{B}\cdot d\vec{s}= \frac{\mu_0}{2\pi} I \cdot d\phi$$

und damit

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} d\phi = \mu_0 I$$

Eine beliebige Kurve $S''$, die den Leiter nicht umschliesst

Es ist

$$\oint\limits_{S'} \vec{B}\cdot d\vec{s}= \int\limits_A^B \vec{B}\... ...{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_A^B d\phi+\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_B^A d\phi$$

$$= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_B-\phi_A\right)+ \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_A-\phi_B\right)=0$$

Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg $S$ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.

Eine beliebige Kurve $S$ um eine beliebige Stromverteilung

Wir betrachten viele Ströme $I_k$, die von der Integrationskurve $S$ umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \mu_0 \sum\limits_k I_k$$

wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von $S$ eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.

Beispiel

Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius $R$ soll homogen vom Strom $I$ durchflossen werden. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Ausserhalb des Leiters ($r>R$) haben wir

$$\oint\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r\cdot B(r) = \mu_0 \int\!\!\!\!\!\int\vec{i}\cdot d\vec{s}= \mu_0 \cdot I$$

Innerhalb des Leiters ($r\leq R$) gilt

$$\oint\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r \cdot B(r) = \mu_0 \int\!\... ...\pi r^2 = \mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi R^2}\cdot \pi r^2 = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$$

Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.

Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (A.43) ) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \int\limits_{A(S)}\!\!\!\!\... ...cdot d\vec{a}= \mu_0 \int\limits_{A(S)}\!\!\!\!\!\!\!\int \vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.257)

Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen $A(S)$ gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{B}= \mu_0 \vec{i}$$ (3.258)

Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

Wir definieren eine lineare Stromdichte $j = \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{I(\Delta y)}{\Delta y}$. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass

$$\vec{B}_z \equiv 0$$ (3.259)

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der $xy$-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die $x$-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von $\vec{B}$ parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter das Feld $\vec{B}_x(x)$ und $\vec{B}_y(x)$ im Abstand $x$ von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $z$-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss
  $$\vec{B}(x) = -\vec{B}(-x)$$
  sein.
• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $y$-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um $j \rightarrow -j$. Die Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch
  $$\vec{B}_x(-x) = \vec{B}_x(x)$$
  und
  $$B_y(-x)= -B_y(x)$$
  .

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

$$\vec{B}_x(x) \equiv 0$$ (3.260)

Um $\vec{B}_y$ zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad $S$ symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

$$\oint\limits_C \vec{B}\cdot d\vec{s}= 2 B_y(x)\cdot b + 2\cdot 0 = \mu_0 \int\!\!\!\!\int \vec{i}d\vec{f}= \mu_0 \cdot j \cdot b$$

Das Resultat ist unabhängig von $x$ und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte).

$$B_y = \frac{\mu_0}{2}j$$ (3.261)

Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.

$$B = \mu_0 j$$ (3.262)

Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel