Eigenschaften des $\vec{B}$-Feldes

Dieser Stoff wurde am 23. 12. 2004 behandelt

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])

Versuch zur Vorlesung: Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11)

Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion $\vec{B}$ ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz

$$\vec{F}_L = q \cdot \vec{v}\times \vec{B}$$ (3.232)

beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft $\vec{F}_L$ heisst Lorentz-Kraft.

Durch den Vergleich von Gleichung (3.98) und Gleichung (3.96) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben

$$B(r) = \frac{I}{2\pi\epsilon_0 c^2}\cdot \frac{1}{r}$$ (3.233)

Die Induktionskonstante

$$\mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}$$ (3.234)

ermöglicht es Gleichung (3.99) kompakter zu schreiben

$$B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{I}{r}$$ (3.235)

Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

Die magnetische Induktion $\vec{B}$ bildet eine Rechtsschraube um den Strom $I$ (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion).

Versuch zur Vorlesung: Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50)

Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom.

Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit

$$\vec{F}_L = q_2 \cdot \vec{v}_2 \times \vec{B}_1(r)$$ (3.236)

wobei $q_2$ eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit $n_2$ der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, $\ell$ die betrachtete Länge, $A_2$ der Querschnitt des Leiters und $\left<v_2\right> = \vert\vec{v}_2\vert$, bekommt man

$$F_M = q_2 \cdot \left<v_2\right> \cdot B_1(r)\cdot n_2\cdot \ell \cdot A_2$$ (3.237)

Der Strom im Leiter 2 ist nun aber

$$I_2 = \left<v_2\right> \cdot q_2 \cdot n_2 \cdot A_2$$ (3.238)

Damit ist

$$F_M = I_2 \cdot B_1(r) \cdot \ell$$ (3.239)

Wenn wir Gleichung (3.101) einsetzen, bekommen wir

$$F_M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \ell \cdot I_1 \cdot I_2}{r}$$ (3.240)

Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.

$$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\frac{N}{A^2}$$ (3.241)

Die Einheit der magnetischen Induktion ist

$$[B] = Tesla = T = \frac{N\cdot s}{C \cdot m} = \frac{N}{A m}= \frac{V\cdot s}{m^2}$$ (3.242)

• Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung $q$ in einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung ist

  $$\vec{F}= q\cdot \vec{E}+ q\cdot \vec{v}\times \vec{B}$$ (3.243)

  
  
  Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik
• Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem elektrostatischen Feld.

Dieser Stoff wurde am 13. 1. 2005 behandelt

Materialien Folien zur Vorlesung vom 13. 01. 2005: PDF

Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

Der Betrag des Vektors $d\vec{F}$, der senkrecht auf $d\vec{\ell}$ und senkrecht auf $d\vec{B}$ steht, ist

$$dF = q \cdot \left< v \right> \cdot \sin \phi \cdot B \cdot n \cdot d\ell \cdot A$$ (3.244)

wobei $n$ die Dichte der Ladungsträger und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec{B}$ und $d\vec{\ell}$ ist. Mit der Stromdichte $\vec{i}= n \cdot \left< v \right> \cdot q$ erhalten wir

$$dF = i \cdot A \cdot d\ell \cdot \sin\phi \cdot B = I \cdot d\ell \cdot \sin \phi \cdot B$$ (3.245)

Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach

$$d\vec{F}= I\cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}$$ (3.246)

Beispiele

1. Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist

   $$\vec{F}= \oint I \cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}= I \cdot \left( \oint d\vec{\ell}\times \vec{B}\right)$$ (3.247)

   
   
   Da das Linienintegral $\oint d\vec{\ell}\times \vec{B}$ über eine geschlossene Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben sich auf) ist $\vec{F}= 0$.
2. Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.
   
   

   Link zur Vorlesung:(Elektromotor)
   
   
   

   Versuch zur Vorlesung: Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046)
   
   

   

   Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
   Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment
   

   $$d\vec{M} = \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_1+ \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_1$$ (3.248)

   $$ + \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_2+ \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_2$$

   $$ = 2\cdot \vec{r}_1 \times d\vec{F}_1 + 2 \cdot \vec{r}_2 \times d\vec{F}_2$$

   
   
   Das gesamte Drehmoment ist

   $$\vec{M}= \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = 2 \cdot \vec{r}_1 \times \vec{F}_1$$ (3.249)

   
   
   Das Drehmoment $\vec{M}$ liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn $\phi$ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und $\vec{B}$ ist, gilt mit $F_1 = a\cdot I \cdot B$:

   $$M = 2 \frac{b}{2} \sin\phi \cdot F_1 = a\cdot b\cdot I \cdot \sin\phi \cdot B$$ (3.250)

   
   
   Wir definieren das magnetische Moment $\vec{m}$ so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass $\vert\vec{m}\vert = \textrm{Fl\uml {a}che} \cdot \textrm{Strom} = a\cdot b\cdot I$ ist. Damit ist

   $$\vec{M}= \vec{m}\times \vec{B}$$ (3.251)

   
   
   Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
3. Die potentielle Energie einer um den Winkel $\phi$ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von $\phi=0$ ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel $\phi$ dreht. Die Arbeit, um von $\phi'$ nach $\phi'+d\phi'$ zu drehen ist

   $$dU = 2 \cdot F_1 \sin\phi' \cdot\frac{b}{2}\cdot d\phi' = a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \sin\phi' \cdot d\phi'$$ (3.252)

   
   
   Damit erhalten wir

   $$U(\phi) =a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \int\limits_0^\phi \sin\phi' \cdot d\phi' = - a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \left(\cos\phi -1\right)$$ (3.253)

   
   
   Wenn wir $U(\phi=\pi/2) = 0$ wählen haben wir

   $$U = - \vec{m}\cdot \vec{B}$$ (3.254)

   
   

Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.

Versuch zur Vorlesung: Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004)