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Dieser Stoff wurde am 23. 12. 2004
behandelt |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])
Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische
Feldstärke oder die magnetische Induktion
ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung
der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so
gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das
folgende Kraftgesetz
![$\displaystyle \vec{F}_L = q \cdot \vec{v}\times \vec{B}$](img885.gif) |
(3.232) |
|
beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft
heisst Lorentz-Kraft.
Durch den Vergleich von Gleichung (3.98) und Gleichung (3.96) kann man für die magnetische Feldstärke einer
linienförmigen Stromverteilung schreiben
![$\displaystyle B(r) = \frac{I}{2\pi\epsilon_0 c^2}\cdot \frac{1}{r}$](img886.gif) |
(3.233) |
Die Induktionskonstante
![$\displaystyle \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}$](img887.gif) |
(3.234) |
ermöglicht es Gleichung (3.99) kompakter zu schreiben
![$\displaystyle B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{I}{r}$](img888.gif) |
(3.235) |
Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.
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Die magnetische Induktion bildet eine Rechtsschraube um den Strom (Daumen in
Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion).
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Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die
kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der
Strom.
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Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit
![$\displaystyle \vec{F}_L = q_2 \cdot \vec{v}_2 \times \vec{B}_1(r)$](img890.gif) |
(3.236) |
wobei
eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit
der Ladungsträgerdichte im Leiter 2,
die
betrachtete Länge,
der Querschnitt des Leiters und
, bekommt man
![$\displaystyle F_M = q_2 \cdot \left<v_2\right> \cdot B_1(r)\cdot n_2\cdot \ell \cdot A_2$](img895.gif) |
(3.237) |
Der Strom im Leiter 2 ist nun aber
![$\displaystyle I_2 = \left<v_2\right> \cdot q_2 \cdot n_2 \cdot A_2$](img896.gif) |
(3.238) |
Damit ist
![$\displaystyle F_M = I_2 \cdot B_1(r) \cdot \ell$](img897.gif) |
(3.239) |
Wenn wir Gleichung (3.101) einsetzen, bekommen wir
![$\displaystyle F_M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \ell \cdot I_1 \cdot I_2}{r}$](img898.gif) |
(3.240) |
Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.
![$\displaystyle \frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\frac{N}{A^2}$](img899.gif) |
(3.241) |
|
Die Einheit der magnetischen Induktion ist
![$\displaystyle [B] = Tesla = T = \frac{N\cdot s}{C \cdot m} = \frac{N}{A m}= \frac{V\cdot s}{m^2}$](img900.gif) |
(3.242) |
- Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung
in einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung ist
![$\displaystyle \vec{F}= q\cdot \vec{E}+ q\cdot \vec{v}\times \vec{B}$](img901.gif) |
(3.243) |
Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik
- Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem
elektrostatischen Feld.
Dieser Stoff wurde am 13. 1. 2005
behandelt |
![\includegraphics[height=8mm]{icon-mat}](img217.gif) |
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 13. 01. 2005: PDF
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Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von
Biot-Savart berechnet werden.
Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
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Der Betrag des Vektors
, der senkrecht auf
und senkrecht auf
steht, ist
![$\displaystyle dF = q \cdot \left< v \right> \cdot \sin \phi \cdot B \cdot n \cdot d\ell \cdot A$](img906.gif) |
(3.244) |
wobei
die Dichte der Ladungsträger und
der Winkel zwischen
und
ist. Mit der Stromdichte
erhalten wir
![$\displaystyle dF = i \cdot A \cdot d\ell \cdot \sin\phi \cdot B = I \cdot d\ell \cdot \sin \phi \cdot B$](img908.gif) |
(3.245) |
Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist
demnach
![$\displaystyle d\vec{F}= I\cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}$](img909.gif) |
(3.246) |
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Beispiele
- Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist
![$\displaystyle \vec{F}= \oint I \cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}= I \cdot \left( \oint d\vec{\ell}\times \vec{B}\right)$](img910.gif) |
(3.247) |
Da das Linienintegral
über eine geschlossene Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben
sich auf) ist
.
- Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der
Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.
Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
|
Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern
kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment
Das gesamte Drehmoment ist
![$\displaystyle \vec{M}= \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = 2 \cdot \vec{r}_1 \times \vec{F}_1$](img918.gif) |
(3.249) |
Das Drehmoment
liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn
der Winkel zwischen der
Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und
ist, gilt mit
:
![$\displaystyle M = 2 \frac{b}{2} \sin\phi \cdot F_1 = a\cdot b\cdot I \cdot \sin\phi \cdot B$](img920.gif) |
(3.250) |
Wir definieren das magnetische Moment
so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass
ist. Damit ist
![$\displaystyle \vec{M}= \vec{m}\times \vec{B}$](img922.gif) |
(3.251) |
Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in
Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der
Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
- Die potentielle Energie einer um den Winkel
gegenüber dem Magnetfeld verdrehten
stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von
ausgeht und die Schlaufe
langsam zum Winkel
dreht. Die Arbeit, um von
nach
zu drehen ist
![$\displaystyle dU = 2 \cdot F_1 \sin\phi' \cdot\frac{b}{2}\cdot d\phi' = a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \sin\phi' \cdot d\phi'$](img926.gif) |
(3.252) |
Damit erhalten wir
![$\displaystyle U(\phi) =a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \int\limits_0^\phi \sin\phi' \cdot d\phi' = - a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \left(\cos\phi -1\right)$](img927.gif) |
(3.253) |
Wenn wir
wählen haben wir
![$\displaystyle U = - \vec{m}\cdot \vec{B}$](img929.gif) |
(3.254) |
Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.
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Marti
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