Quellenfreiheit

Dieser Stoff wurde am 13. 1. 2005 behandelt

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.

Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes

Da überall auf der Integrationsfläche $A$ gilt: $\vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$, ist

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$$ (3.263)

Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d\vec{a}= \int\limits_{Mantel}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d\vec{a}$$

ist.

Integration über die Mantelfläche.

An der Mantelfläche gilt mit $da = h\cdot ds$

$$\vec{B}\cdot d\vec{a}= B(r) \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)h\cdot ds = - B(r) \sin\left(\alpha\right)h\cdot ds$$

$$= -B(r) \cdot dr \cdot h = -B(r) \cdot \frac{dr}{d\phi}d\phi \cdot h= -B(r) \cdot r'(\phi)\cdot d\phi \cdot h$$

und damit

$$\int\limits_{Mantel}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d\vec{a}=... ...= \left.-\frac{\mu_0 I h}{2\pi}\ln\left(r(\phi)\right)\right\vert _0^{2\pi} = 0$$

Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$$ (3.264)

Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.41) ) zeigt man

Quellenfreiheit des Magnetfeldes

$$0=\int\limits_A\!\!\!\!\int \vec{B}\cdot d \vec{a}= \int\!\!\!\!\... ...int\limits_{V(A)}\!\!\!\!\!\!\int {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{B}\; dV$$ (3.265)

oder in differentieller Form

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{B}= 0$$ (3.266)

Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.