Transformator

Dieser Stoff wurde am 27. 1. 2005 behandelt

Der magnetische Fluss in einer Spule entsteht durch Ströme in dieser Spule selber, oder in anderen Spulen. Nach dem Gesetz von Laplace oder Biot-Savart ist das Magnetfeld proportional zum Strom. Somit ist auch der Fluss $\phi_B$ proportional zum Strom. Diese Proportionalität wird mit

$$\phi_B = L\cdot I$$ (4.315)

ausgedrückt, wobei $L$ die Selbstinduktivität der Spule ist.

Die Einheit der Induktivität ist

$$1 H = 1 \textrm{Henry} = 1 \frac{Wb}{A} = 1 \frac{T\cdot m^2}{A}$$

In den meisten Fällen ist es schwierig, die Selbstinduktivität einer Schaltung zu berechnen. Für eine lange, dicht gewickelte Spule ist das Magnetfeld

$$B = \mu_0 \frac{N}{\ell}I$$ (4.316)

Dabei ist $N= n\cdot \ell$ die Anzahl Windungen auf der Länge $\ell$. Hat die Spule den Querschnitt $A$, so ist der Fluss

$$\phi_B = N\cdot B\cdot A = \mu_0 \frac{N^2}{\ell}I\cdot A = \mu_0 n^2 A\ell I$$ (4.317)

Damit ist die Induktivität der Spule

$$L = \frac{\phi_B}{I} = \mu_0 \frac{N^2}{\ell} A = \mu_0 n^2 A\ell$$ (4.318)

Die magnetische Permeabilität $\mu_0$ kann also auch als

$$\mu_0 = 10^{-7} \frac{Henry}{m}$$ (4.319)

Die Änderung der Stromstärke bedingt eine Änderung des magnetischen Flusses.

$$\frac{d\phi_B}{dt}=\frac{d(LI)}{dt} = L\frac{dI}{dt}$$ (4.320)

Somit wird mit Gleichung (4.6)

$$U = -\frac{d\phi_m}{dt} = -L\frac{dI}{dt}$$ (4.321)

Mit dieser Gleichung wird die Funktionsweise des Funkeninduktors klar.

Versuch zur Vorlesung: Funkeninduktor (Versuchskarte EM017)

Zwei gekoppelte Stromkreise

Der magnetische Fluss am Punkt $P_2$ hängt sowohl vom Strom $I_2$ wie auch vom Strom $I_1$ ab:

$$\phi_B(P_2) = L_2\cdot I_2 + M_{12}\cdot I_1$$ (4.322)

Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt $P_1$ von beiden Strömen ab

$$\phi_B(P_1) = L_1\cdot I_1 + M_{21}\cdot I_2$$ (4.323)

Neben der Selbstinduktivität $L_i$ müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten $M_{ij}$ berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab.

Symbolische Darstellung eines Transformators

Im allgemeinen ist es schwierig, die Gegeninduktivitäten zu berechnen. Bei zwei ineinander gewickelten Spulen, einem Beispiel für einen Transformator, gelingt dies. Wir wollen das Beispiel verwenden, um zu zeigen, dass $M_{12}=M_{21}$ ist. Durch die Spule $1$ (Länge $\ell$, Radius $r_1$, Windungsdichte $n_1 = N_1/\ell$) fliesst der Strom $I_1$, durch die zweite Spule $2$ (Länge $\ell$, Radius $r_2$, Windungsdichte $n_2 = N_2/\ell$) soll der Strom $I_2$ fliessen. Da wir lange Spulen betrachten, ist das Magnetfeld im Inneren der Spulen homogen. Also ist

$$B_1 = \mu_0 n_1 I_1$$ (4.324)

Ausserhalb der Spule $1$ ist das Magnetfeld $B_1 = 0$ (Annahme einer langen Spule). Deshalb ist der Fluss durch den Strom $I_1$ für die Spule $2$ gegeben durch

$$\phi_{B_2} = N_2 \cdot B_1 (\pi r_1^2) = n_2\ell B_1 (\pi r_1^2)=\mu_0 n_1 n_2 \ell (\pi r_1^2) I_1$$ (4.325)

Die Gegeninduktivität $M_{12}$ ist also

$$M_{12} = \frac{\phi_{B_2}}{I_1}= \mu_0 n_1 n_2 \ell (\pi r_1^2)$$ (4.326)

Im entgegengesetzten Falle beginnen wir mit

$$B_2 = \mu_0 n_2 I_2$$ (4.327)

Der für die Spule $1$ relevante Fluss ist durch die von der Spule $1$ umschlossene Fläche, also $N_1(\pi r_1^2)$ gegeben.

$$\phi_{B_1}= N_1 \cdot B_2 (\pi r_1^2)=n_1 \ell \mu_0 n_2 I_2 (\pi r_1^2) = \mu_0 n_1 n_2 \ell (\pi r_1^2) I_2$$ (4.328)

Damit wird die Gegeninduktivität

$$M_{21} = \frac{\phi_{B_1}}{I_2}=\mu_0 n_1 n_2 \ell (\pi r_1^2)= M_{12}$$ (4.329)

Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne Beweis).

Schematischer Aufbau eines Transformators

Die in einem Transformator induzierte Spannung kann wie folgt berechnet werden. In der Spule $1$ fällt die Spannung

$$U_{L,1} = N_1 \frac{d\phi_B}{dt}$$ (4.330)

ab. Diese Spannung muss durch die Wechselspannungsquelle $U$ erzeugt werden, so das

$$U = U_{L,1} = N_1 \frac{d\phi_B}{dt}$$ (4.331)

ist. Durch die Anordnung des Eisens wird erreicht, dass der gesamte durch die erste Spule erzeugte magnetische Fluss durch die zweite Spule fliesst. Dort haben wir die induzierte Spannung

$$U_2 = -N_2\frac{d\phi_B}{dt}$$ (4.332)

und somit

$$U_2 = - \frac{N_2}{N_1}U_1$$ (4.333)

$N_2/N_1$ heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators.

Wird der Ausgang des Transformators mit dem Ohmschen Widerstand $R$ belastet, fliesst der Strom $I_2$, der zu $U_2$ in Phase ist. Dieser Strom erzeugt einen magnetischen Fluss $\phi_B'\propto N_2 I_2$, der den ursprünglichen Fluss $\phi_B$ durch die Spule $2$ schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die Spannungsquelle $U$ vorgegeben ist, muss der Strom $I_1$ auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass $\phi_B'\propto N_1 I_1$ gilt. Da die Proportionalitätsfaktoren bis auf das Vorzeichen gleich sind, gilt dann auch

$$I_2 = -\frac{N_1}{N_2} I_1$$ (4.334)

Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit

$$U_2I_2 =\left[- \frac{N_2}{N_1}U_1\right]\left[-\frac{N_1}{N_2} I_1\right] = U_1I_1$$ (4.335)

sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also verlustfrei Leistung.

Versuch zur Vorlesung: Hochspannungsleitung (Versuchskarte EM161)

Versuch zur Vorlesung: Transformatorenversuche (Versuchskarte EM066)