Das $\vec{B}$-Feld einer beliebigen Stromverteilung: das Vektorpotential $\vec{A}$

Dieser Stoff wurde am 13. 1. 2005 behandelt

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 114])

Versuch zur Vorlesung: Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021)

Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{B}= \mu_0 \vec{i}$ und die Quellenfreiheit ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{B}= 0$ erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.68) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential

$$\vec{B}\left(x;y;z\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\left(x;y;z\right)$$ (3.267)

werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\right) = 0$$ (3.268)

ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von $\vec{A}$ garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\... ...{grad}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}\right) - \Delta \vec{A}$ bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz

$$\Delta \vec{A}- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}\right) = -\mu_0 \vec{i}$$ (3.269)

Das Vektorpotential $\vec{A}$ kann immer so gewählt werden, dass ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}= 0$ gilt.

Dieser Stoff wurde am 20. 1. 2005 behandelt

Materialien Folien zur Vorlesung vom 20. 01. 2005: PDF Seminar vom 20. 01. 2005: Aufgabenblatt 06 (HTML oder PDF)

Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}= f \neq 0$ existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld $\vec{V}= {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi$ mit

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{V} = f$$ (3.270)

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{V} = 0$$

mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein Vektorpotential

$$\vec{A}' = \vec{A}- \vec{V}$$

Wegen Gleichung (3.137) gilt dann

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}' = {}\boldsymbol{\mathrm... ...,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{V}= {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}$$

Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche $\vec{B}$-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.137) gilt auch

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}' = {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}- {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{V}= f-f = 0$$

Zu jedem Vektorpotential $\vec{A}$ kann ein Vektorpotential $\vec{A}'$ gefunden werden, so dass ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}' = 0$ ist.

Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential $\vec{A}$ ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von $\vec{B}$ gehörenden Potentiale nennt man Eichung

In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential.

Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung

$$\Delta\vec{A}(x;y;z) = -\mu_0\vec{i}(x;y,z)$$ (3.271)

kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,

$$\vec{A}\left(\vec{r}\right) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\!\!\!\!\int\... ...nt \frac{\vec{i}\left(\vec{r}\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}dV'$$ (3.272)

Wenn wir mit $\vec{\rho}= \vec{r}-\vec{r}'$ den Abstand von einem Beobachtungspunkt $\vec{r}$ zu einem Punkt $\vec{r}'$ mit der Stromdichte $\vec{i}(\vec{r}')$ eines linearen Leiterstückes $d\vec{\ell}$ bezeichnen und $\vec{\rho}= \vec{r}-\vec{r}'$ setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld

$$d\vec{B}= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{d\vec{\ell}\times\vec\rho}{\rho^3}$$ (3.273)

Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\limits_{Leiter}\frac{d\vec{\ell}\times\vec\rho}{\rho^3}$$ (3.274)

Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet.