Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes $\vec{a}$ nach einer Richtung

$$\frac{\partial \vec{a}(\vec{r})}{\partial \vec{c}} = \lim\limits_... ...ow 0} \frac{\vec{a}(\vec{r}+\varepsilon\vec{c}) -\vec{a}(\vec{r})}{\varepsilon}$$ (A..547)

Ableitung $\frac{\partial \vec{a}(\vec{r})}{\partial \vec{e}_{\vec{c}}}$ in Richtung des Einheitsvektors $\vec{e}_{\vec{c}}$ in Richtung von $\vec{c}$

$$\frac{\partial \vec{a}(\vec{r}}{\partial \vec{c}} = \left\vert\vec{c}\right\vert\frac{\partial \vec{a}(\vec{r})}{\partial \vec{e}_{\vec{c}}}$$ (A..548)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

$$\frac{\partial \vec{a}(\vec{r})}{\partial \vec{c}} = \left(\vec{c}\cdot \,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\right)\vec{a}$$ (A..549)

$$= \frac{1}{2}\left[ \,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\vec{a}\t... ...\cdot\vec{a}\right) +\vec{c}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{a}\right.$$

$$\left.-\vec{a}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{c}-\vec{c... ...hrm{rot}}{}~\vec{a}-\vec{a}\times\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\vec{c}\right]$$

Gradient eines Produktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\left(\varphi_1 \varphi_2\right)... ...mathrm{grad}}{}~\varphi_2 + \varphi_2\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi_1$$ (A..550)

Kettenregel beim Gradienten

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi_1\left(\varphi_2\right) = \frac{d \varphi_1}{d \varphi_2}\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi_2$$ (A..551)

Gradient eines Skalarproduktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)... ...ol{\mathrm{rot}}{}~\vec{b}+\vec{b}\times\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\vec{a}$$ (A..552)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors $\vec{k}$ mit einem Ortsvektor $\vec{r}$

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\left(\vec{r}\cdot \vec{k}\right) = \vec{k}$$ (A..553)

Divergenz eines Produktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\varphi \vec{a}\right) = \v... ...dsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{a}+\vec{a}\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi$$ (A..554)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors $\vec{k}$ mit einem Ortsvektor $\vec{r}$

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\vec{r}\cdot\vec{k}\right) = \frac{\vec{r}\cdot\vec{k}}{\left\vert\vec{r}\right\vert}$$ (A..555)

Divergenz eines Vektorproduktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)... ...bol{\mathrm{rot}}{}~\vec{a}-\vec{a}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\vec{b}$$ (A..556)

Rotation eines Produktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\varphi \vec{a}\right) = \v... ...\mathrm{rot}}{}~\vec{a}+\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi \times \vec{a}$$ (A..557)

Rotation eines Vektorproduktes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)... ...ldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{b}-\vec{b}\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{a}$$ (A..558)

Rotation eines Potentialfeldes

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\varphi\right)=\vec{0}\qquad \forall \varphi$$ (A..559)

Divergenz einer Rotation

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\vec{a}\right)= 0 \qquad \forall \vec{a}$$ (A..560)

Rotation einer Rotation

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot... ...oldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\vec{a}\right)$$ (A..561)