Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen

Wenn $\vec{v}=\frac{d}{d t}\vec{r}$ ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an einem mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe Jackson[Jac75, p212]):

$$\frac{d}{d t} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v}\cdot \vec{\... ...}= \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v}\cdot \,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~$$ (A..562)

wobei $\frac{d}{d t}$ die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und $\frac{\partial}{\partial t}$ die lokale, mitgeführte Ableitung ist. Mit Gleichung (A.32) kann man schreiben

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\vec{B}\times\vec{v}\right) = \left(\vec{v}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\right)\vec{... ...ldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{v}-\vec{v}\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{B}$$

$$\vec{\nabla}\times\left(\vec{B}\times\vec{v}\right) = \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{B}- \left(\vec{B}\cdo... ...\right)\vec{v}+\vec{B}\vec{\nabla}\cdot \vec{v}-\vec{v}\vec{\nabla}\cdot\vec{B}$$ (A..563)

oder

$$\left(\vec{v}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\right)\vec{B} = \,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\vec{B}\times\vec{v}\righ... ...ldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{v}+\vec{v}\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{B}$$

$$\left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{B} = \vec{\nabla}\times\left(\vec{B}\times\vec{v}\right) + \left(\ve... ...\right)\vec{v}-\vec{B}\vec{\nabla}\cdot \vec{v}+\vec{v}\vec{\nabla}\cdot\vec{B}$$ (A..564)

Nun ist $\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~{\vec{B}}=0$. Weiter ist $\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\left(\frac{d}{d t} \vec{v}\right) = \frac{d}{d t}\,{}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}~\vec{v}= \frac{d}{d t} (3) = 0$ und $\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\vec{v}= \frac{d}{dt}\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\vec{r}= \frac{d}{d t} E = 0$, wobei $E$ die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist. Damit haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit

$$\left(\vec{v}\cdot\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~\right)\vec{B} = \,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~\left(\vec{B}\times\vec{v}\right)$$

$$\left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{B} = \vec{\nabla}\times\left(\vec{B}\times\vec{v}\right)$$ (A..565)

und

$$\frac{d}{d t}\vec{B}= \frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+ \vec{v}... ...artial}{\partial t}\vec{B}+ \vec{\nabla}\times\left(\vec{B}\times\vec{v}\right)$$ (A..566)