(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 751])
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Allgemein gilt für einen Leiter, dass
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(3.159) |
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ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist
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(3.161) |
Bekannter ist die Form
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(3.163) |
Die zu gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand
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(3.164) |
Wir betrachten die Bewegung von Ionen
in einer Umgebung von nicht
ionisierten Molekülen
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Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.
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Die Masse der Ionen sei , ihre Ladung
und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement
Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet
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(3.165) |
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(3.166) |
Der mittlere Impuls ist
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(3.167) |
Sind die Geschwindigkeiten
isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu
null. Unter dieser Annahme ist
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(3.168) |
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(3.169) |
Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger
Wir haben
gesetzt.
Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn und
unabhängig von
sind,
Beispiel: Metall
Wir nehmen an, dass
ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die
mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist
(kinetische Gastheorie). Mit
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(3.172) |
bekommen wir
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(3.173) |
(mit
und
für Na-Metall)
Die mittlere freie Weglänge ist dann
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(3.174) |
im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1nm
Lösung: Quantenmechanik
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Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist
im Inneren. Dies folgt
aus
Aus der Eigenschaft
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(3.175) |
erhalten wir im Inneren eines Leiters
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(3.176) |
Dies bedeutet, dass im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters ein Potentialfeld ist. Die Lösung von
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(3.177) |
ist durch die Randbedingungen
Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.18) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.26) bekommen wir
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(3.178) |
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Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter
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Wir wenden die Kontinuitätsgleichung Gleichung (3.18) auf die Fläche an.
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(3.181) |
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(3.182) |
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(3.183) |
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(3.184) |
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(3.185) |
Im statischen Falle ist
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Othmar Marti