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Unterabschnitte


Strahlungsgesetze

Thermische Strahlung

Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss $ \Phi$ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:

$\displaystyle \Phi = \Phi_R + \Phi_T + \Phi_a = a_R\cdot \Phi + a_T\cdot \Phi + \epsilon\cdot \Phi$ (3.22)

wobei $ \Phi_T$ den transmittierten Fluss, $ \Phi_R$ den reflektierten Fluss und $ \Phi_a$ den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit $ \epsilon$ den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, dann gibt es keinen transmittierten Fluss. Dann gilt mit $ a_R = 1-\epsilon$

$\displaystyle \Phi = (1-\epsilon)\Phi_R+\epsilon\Phi_a$ (3.23)

Der Absorptionsgrad $ \epsilon$ hängt von der Frequenz ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen, zum Beispiel.

Wenn man die Ausstrahlung einer schwarzen Fläche ( $ \epsilon=1$) mit $ P_s$ beschreibt ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch

$\displaystyle P = \epsilon  P_s$ (3.24)

gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.

Nehmen wir an, eine Fläche mit $ \epsilon_1$ under Temperatur $ T$ strahle die Leistung $ P_1$ auf die zweite Fläche mit der Temperatur $ T$. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit $ \epsilon_2$ die Leistung $ P_2$ auf die erste Fläche. Beide Flächen sind im thermischen Gleichgewicht. Dann muss

$\displaystyle \epsilon_1 \cdot P_2 = \epsilon_2 \cdot P_1$ (3.25)

sein. Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung $ P(T)$, die auch nur von der Temperatur abhängt, mit $ P_i$ wie

$\displaystyle P_i = \epsilon_i\cdot P(T)$ (3.26)

sich verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.10) erfüllt.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Pyrometermodell (Versuchskarte AT-12)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Infrarotkamera: Optische Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)

Schwarzkörperstrahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{schwarzkoerper}
Schematische Darstellung eines schwarzen Körpers.




Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit $ \epsilon$ absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit $ 1-\epsilon<1$ reflektiert. Nach $ n$ Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf $ (1-\epsilon)^n$ abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst. der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist $ \epsilon=1$.

Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript

$\displaystyle X_\nu = \frac{dX}{d\nu}$

bestimmt.

Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte $ \varrho(\nu,T)d\nu$. Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte $ \varrho(\nu,T)$ und dem Frequenzband der Breite $ d\nu$, das das Intervall $ (\nu,\nu+d\nu)$ beschreibt. Diese Energie $ \varrho(\nu,T)d\nu$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $ c$ durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie $ \varrho(\nu,T)$ und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig $ P_{s,\nu}(\nu,T)$. Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte $ \varrho$ ausdrücken3.

$\displaystyle R_{s,\nu}(\nu,T) = c \varrho(\nu,T)$ (3.27)

oder, integriert über alle Frequenzen,

$\displaystyle R_s(T) = c \int\limits_0^\infty \varrho(\nu,T)  d\nu$ (3.28)

Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung aus.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{planck1}
Spektrale Energiedichteverteilung nach Wellenlänge.




Wenn man gegen die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, sieht das ganze so aus:





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{planck2}
Spektrale Energiedichteverteilung nach Frequenz




Plancks Strahlungsgesetz

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Hohlraumstrahler: Absorption und Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Plancksches Strahlungsgesetz: Strahlung einer Glühlampe bei verschiedenen Temperaturen (Versuchskarte AT-21)

Plancksches Wirkungsquantum

$\displaystyle h = 6.62606896\cdot 10^{-34} J s$ (3.29)

Eselsbrücke: $ h \sim 2\pi\cdot 10^{-34} J s$

Reduziertes Wirkungsquantum

$\displaystyle \hbar = 1.054571628\cdot 10^{-34} J  s$ (3.30)

Eselsbrücke: $ \hbar = 10^{-34} J  s$

Quantenhypothese Einsteins
Atome, die die Energie $ h\nu$ absorbieren, haben eine höhere Energie als Atome im Grundzustand

Definitionen:

$ n^*$
Teilchenzahldichte der angeregten Atome
$ n_0$
Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome

Wir nehmen das thermische Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung

$\displaystyle \frac{n^*}{n_0} = e^{-E/(k_B T)}$ (3.31)

Energieaustausch





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{anregungsschema}
Schema der möglichen Anregungen und Emissionen in einem Zweiniveau-Atom.




Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Von Einstein stammt das Postulat der induzierten Emission. Planck hatte ursprünglich das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei $ h$ das Phasenraumvolumen war.


$\displaystyle \frac{\textrm{Anzahl Absorptionen}}{m^3   s}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B_1 \varrho(\nu,T)  n_0$ (3.32)
$\displaystyle \frac{\textrm{Anzahl spontane Emissionen}}{m^3 s}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A n^*$  
$\displaystyle \frac{\textrm{Anzahl induzierter Emissionen}}{m^3 s}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B_2 \varrho(\nu,T) n^*$  

wobei $ A$ der Einsteinkoeffizient der spontanen Emission, $ B_1$ der Einsteinkoeffizient der Absorption und $ B_2$ der Einsteinkoeffizient der induzierten Emission.

Im Gleichgewicht gibt es gleich viele Emissionen wie Absorptionen.

$\displaystyle B_1 \varrho(\nu,T)  n_0 = A n^* + B_2 \varrho(\nu,T) n^*$ (3.33)

Da die induzierte Emission der Umkehrprozess der Absorption ist, muss

$\displaystyle B_1 = B_2 = B$ (3.34)

sein.

Umformung

$\displaystyle B \varrho(\nu,T)  n_0 = \left(A + B \varrho(\nu,T)\right)n^* = \left[A + B \varrho(\nu,T)\right] n_0  e^{-E/(k_B T)}$ (3.35)

Energiedichte

$\displaystyle B \varrho(\nu,T)  n_0\left[1-e^{-E/(k_B T)}\right] = A  n_0  e^{-E/(k_B T)}$

Infinitesimal geschrieben bekommen wir

$\displaystyle \varrho(\nu,T) d\nu = \frac{A}{B}  \frac{e^{-h\nu/(k_B T)}}{1-e^{-h\nu/(k_B T)}} d\nu = \frac{A}{B} \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)}-1} d\nu$ (3.36)

$ A/B$ berechnet man aus der Modendichte des Hohlraumes

$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{8\pi  h  \nu^3}{c^3}$ (3.37)

Plancksches Strahlungsgesetz

$\displaystyle \varrho(\nu,T) d\nu = \varrho_\nu(T) d\nu = \frac{8\pi  h  \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}d\nu$ (3.38)

Grenzfall $ h\nu \ll k_B T$

dann gilt

$\displaystyle e^{h\nu/(k_B T)} \approx 1 + \frac{h\nu}{k_B T}$

Rayleigh-Jeans-Gesetz

$\displaystyle \varrho(\nu,T) d\nu = \varrho_\nu(T) d\nu \approx \frac{8\pi   \nu^2}{c^3} k_B T d\nu$ (3.39)

Für $ h\nu \gg k_B  T$ ist

$\displaystyle e^{h\nu/(k_B  T)} \gg 1$

Wiensches Strahlungsgesetz

$\displaystyle \varrho(\nu,T) d\nu =\varrho_\nu(T) d\nu \approx \frac{8\pi  h  \nu^3}{c^3} e^{-h\nu/(k_B  T)}d\nu$ (3.40)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{planck-wien}
Vergleich der Gesetze von Planck, Wien und Rayleigh Jeans bei $ 6000  K$




Kosmische Energiedichteverteilung





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{planck-hg}
Spektrale Energiedichteverteilung der Hintergrundsstrahlung von $ 2.735  K$




Wiensches Verschiebungsgesetz

Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.23)

$\displaystyle x= \frac{h\nu}{k_B  T}$

und

$\displaystyle dx = \frac{h}{k_B  T}d\nu$

und vernachlässigen die Vorfaktoren.

$\displaystyle \varrho'(x) dx = \frac{x^3}{e^x-1} dx$

Maximum

$\displaystyle 0 = \frac{d\varrho'(x)}{dx} = 3 {\frac {{x}^{2}}{ e ^{x}-1}}-{\frac {{x}^{3}
e^{x}}{ \left(e^{x}-1
\right) ^{2}}}$

und

$\displaystyle 0 = \frac{3x^2(e^x-1)-x^3e^x}{(e^x-1)^2}$

$\displaystyle x^3 e^x = 3 x^2(e^x-1)$

$\displaystyle e^x(3-x) = 3$

oder

$\displaystyle e^x = \frac{3}{3-x}$

Die Lösung der Gleichung ist

$\displaystyle x=W_L\left(\frac{-3}{e^3}\right)=2.821439372$

wobei $ W_L$ Lambert's W-Funktion ist.

Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel in Gleichung (3.23)

Wiensches Verschiebungsgesetz

$\displaystyle \nu_m = \frac{2.82 k_B  T}{h}$ (3.41)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Wien}
Wiensches Verschiebungsgesetz




Die Energiedichten bei den Emissionsmaxima sind

$\displaystyle \varrho(\nu,T)d\nu =\frac{8\pi  h  \nu_m^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu_m/(k_B T)}-1}d\nu= 35.7  \frac{k^3}{c^3   h^2}  T^3 d\nu$ (3.42)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Wien-energie}
Energiedichte im spektralen Maximum nach dem Wiensches Verschiebungsgesetz




Stefan-Boltzmann-Gesetz

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Strahlungswürfel nach Leslie: Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Stefan-Boltzmannsches Gesetz: mit Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)

Spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.12) senkrecht zur Oberfläche

$\displaystyle R_\nu(T) d\nu = c \varrho(\nu,T)d\nu$

Richtungsabhängige Abstrahlung ($ \alpha$ Winkel zur Normalen)

$\displaystyle R_\nu(T,\alpha) d\nu = R_\nu(T) \cos\alpha d\nu$

Mittelung über Halbraum

$\displaystyle <f> = \frac{1}{4\pi}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi/2} f(\alpha,\phi)\sin\alpha d\alpha\;d\phi$

und über Frequenz

$\displaystyle R(T) = \frac{1}{4\pi}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi/2}\le...
...0^\infty c\cdot \varrho(\nu,T) d\nu \cos\alpha\right]\sin\alpha d\alpha\;d\phi$ (3.43)

Die Integrale sind voneinander unabhängig.

Mit

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$

und

$\displaystyle \int\limits_0^{\pi/2} \cos\alpha\sin\alpha  d\alpha =
\frac{1}{2}$

wird

$\displaystyle R(T) = \frac{c}{4} \int\limits_0^\infty \varrho(\nu,T) d\nu$ (3.44)

Das Integral ergibt

$\displaystyle R(T) = \frac{c}{4}\cdot {\frac {8}{15}} {\frac {{\pi }^{5}{k}^{4...
...}{c}^{3}}}= {\frac {2}{15}} {\frac {{\pi }^{5}{k}^{4}{T}^{4}}{{h}^{3}{c}^{2}}}$ (3.45)

Stefan-Boltzmann-Konstante

$\displaystyle \sigma={\frac {2}{15}} {\frac {{\pi }^{5}{k}^{4}}{{h}^{3}{c}^{2}}}=(5.67040\pm 4)\cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2  K^4}$ (3.46)

Stefan-Boltzmann-Gesetz

$\displaystyle R(T) = \sigma  T^4 = {\frac {2}{15}} {\frac {{\pi }^{5}{k}^{4}}{{h}^{3}{c}^{2}}} T^4$ (3.47)

$ R$ ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur $ T$.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{stefan-boltzmann}
Stefan-Boltzmann-Gesetz




Farben





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{auge}
Empfindlichkeitskurven der Augenrezeptoren skaliert auf gleiche integrale Empfindlichkeit (nach [Mes06])




Strahlung der Sonne





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{planck-treibhaus}
Vergleich der spektralen Energiedichte von Sonne und Erde. Die verschiedene Lage der Maxima ermöglicht den Treibhauseffekt.





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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm