Verschiebt man ein Objekt entlang der Strecke mit der Konstanten Kraft , so hat man die Arbeit
geleistet. Ist die Kraft nicht konstant, so teilt man die Strecke in infinitesimal kleine Teilstrecken auf und erhält für jede Teilstrecke die Arbeit
Die einzelnen Teilarbeiten sind additiv, also erhält man als Definition der Arbeit
Wir fragen uns nun: Was ist der Aufwand, um eine Masse vom Impuls auf den Impuls zu bringen. Der Aufwand, die Beschleunigungsarbeit hängt von zwei Grössen ab
Wir schreiben unter Verwendung der Definition der Arbeit Gleichung (3.34) :
(3.57) |
Aus dem Experiment und der Definition des Impulses wissen wir, dass oder ist. Nun ist aber auch
und deshalb
Gleichzeitig wechseln die Integrationsgrenzen von , zu ,. Wir haben also
(3.58) |
das heisst, die Arbeit, um eine Masse von 0 auf den Impuls zu bringen ist . Diese Arbeit muss als kinetische Energie betrachtet werden. Sie steckt in der Bewegung der Masse .
Die Einheit der kinetischen Energie ist:
Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist
(3.60) |
Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft , die entlang des Wegelementes liegt.
Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, . Die im System gespeicherte Energie ist deshalb
(3.61) |
Damit ist die potentielle Energie definiert durch
|
Die Einheit der potentiellen Energie ist:
Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093) |
Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.
(3.63) |
Dabei ist die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist .
Die Konstanz der gesamten Energie bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss
(3.64) |
Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man
(3.65) |
Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist
(3.66) |
Wir betrachten ein eindimensionales Problem und nehmen an, dass
oder (mit )
(3.67) |
Diese Bewegungsgleichung ist auch als 2. Newtonsches Axiom oder als 2. Newtonsches Kraftgesetz bekannt. Die Herleitung zeigt jedoch, dass dieses Gesetz, so nützlich es manchmal sein mag, kein fundamentales Gesetz, sondern ein abgeleitetes Gesetz ist.
Versuch zur Vorlesung: Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094) |
Beispiel Hebel
|
Die Grösse , also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.
zu | (3.68) | |
zu | (3.69) |
Dabei ist der Weg entlang der Bahn!
also
zu | (3.70) | |
zu | (3.71) |
Beispiel:
Kreisbahn
Beispiel:
Luftwiderstand
Dann ist
Bei der Gleitreibung haben wir
Das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.
Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung.
Gleichung (3.50) kann mit der Definition der Arbeit umgeschrieben werden:
(3.73) |
Wir haben bei der Umformung verwendet, dass die Ableitung nach der oberen Grenze (die untere ist hier konstant) eines Integral der Integrand ist. Umgeschrieben erhalten wir
(3.74) |
(3.75) |
Aus der Definition der potentiellen Energie ersehen wir, dass
(3.76) |
Der Beweis lautet:
Versuch zur Vorlesung: Arten des Gleichgewichts (Versuchskarte M-021) |
Um die Stabilität einer Gleichgewichtslage zu untersuchen, betrachten wir die drei möglichen Verläufe der potentiellen Energie mit einer Ortskoordinate
Gleichgewichtslagen und potentielle Energie
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Bedingung ist: , oder
Bedingung ist: , oder
Bedingung ist: , oder
In 3 Dimensionen ist ein Massenpunkt im Gleichgewicht, wenn ist.
Othmar Marti