,
,
,
sei gegen das Inertialsystem
,
,
,
mit
beschleunigt. Dier
Trägheitsbeschleunigung
ist durch
Wir fordern: Massen und Zeiten sollen in beiden Systemen gleich sein.
Die Gesetze der Mechanik sollen in beiden Systemen die gleiche Form haben.
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(5.429) |
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(5.430) |
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(5.431) |
Dabei ist
. Die Differenz nennen wir eine Trägheitskraft:
,
also
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(5.432) |
ist die Kraft, die einen nach hinten drückt.
Beweis:
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||
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||
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||
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(5.433) |
Beispiel: Schwerelosigkeit im fallenden Aufzug
Behauptung
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(5.434) |
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Wir wollen das folgende Problem Lösen:
Ein System von Massenpunkten bewegt sich unter Einfluss externer Kräfte
und interner Kräfte
. Es gibt deshalb äusserst komplexe Bewegungsgleichungen.
Prinzip: Ersetzt man die Beschleunigung
der Masse
durch die Trägheitskraft
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(5.435) |
so wird das Problem der Dynamik auf ein statisches Problem zurückgeführt.
Situation für einen ruhenden Beobachter
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Situation für einen ruhenden Beobachter
|
ist die Gleichung, die das System aus der Dynamik beschreibt.
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Situation für einen mitbewegten Beobachter
|
Nach dem Prinzip von d'Alembert gilt
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(5.436) |
oder
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(5.437) |
Trägheitskräfte: Zentrifugalkraft und Corioliskraft
,
,
,
sei Inertialsystem
,
,
,
rotiert um
, Nullpunkte sind identisch.
Winkelgeschwindigkeitsvektor
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Winkelgeschwindigkeitsvektor
|
Wir betrachten einen beliebigen Vektor
. Dieser Vektor ändere sich um
. Diese Änderung
kann in eine durch die gleichförmige Rotation bedingte Komponente
und in eine Komponente
im gleichförmig rotierenden gestrichenen Koordinatensystem
(relative Änderung)
aufgeteilt werden.
Wir betrachten das Dreieck und erhalten
ist tangential und steht damit senkrecht auf
. Als Tangentenvektor liegt
in der Ebene
senkrecht zu
. Also zeigt
in die
gleiche Richtung wie
. Da
ist, gilt auch
daraus folgt
Wir verwenden im folgenden die Notation, um die Ableitungen im gestrichenen und ungestrichenen Koordinatensystem unterscheiden zu können:
|
wobei und
sein soll.
Also erhalten wir
Wichtig ist, dass
die im rotierenden Koordinatensystem durchgeführte
Ableitung ist, aber wieder zurücktransformiert in das lokale Koordinatensystem (siehe auch I).
Beispiel:
Sei
, so ist auch:
,
und damit
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(5.439) |
Geschwindigkeiten (und auch Beschleunigungen) sind in den beiden Bezugssystemen nicht gleich, wohl aber Ortsvektoren. Diese haben zwar unterschiedliche Komponenten, zeigen aber immer auf den gleichen Punkt im Raum. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind unterschiedlich, haben also eine unterschiedliche Länge und/oder eine unterschiedliche Richtung.
Wir betrachten die Beschleunigung. Wir haben für die Beschleunigung im Laborsystem
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Dann ist
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|
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||
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||
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(5.440) |
also haben wir
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(5.441) |
In Gleichung (5.7) ist die Trägheitsbeschleunigung definiert. Wir setzen
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(5.442) |
Wir haben also
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(5.443) | ||
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(5.444) |
Wir können die Gleichung für die vereinfachen, indem wir
wobei
und
sein soll.
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Lage von
![]() ![]() ![]() |
Wir verwenden die Vektoridentität aus Gleichung (J.1)
Mit
bekommen wir dann
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(5.445) |
Also können wir die Bewegung durch Trägheitskräfte beschreiben
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(5.446) |
und
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(5.447) |
Die Trägheitskräfte sind
|
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Die Zentrifugalkraft ist nur von der Position, nicht aber von der Geschwindigkeit im
gleichförmig rotierenden Bezugssystem abhängig. Die Corioliskraft andererseits hängt nur von
ab, aber
nicht von
.
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mitbewegtes Koordinatensystem:
: nach E
: nach N
: nach oben
die geographische Breite.
Die Winkelgeschwindigkeit ist im gestrichenen Bezugssystem
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(5.448) |
Der Vektor hat die Länge
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(5.449) |
Im gestrichenen Bezugssystem hat die Koordinaten
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(5.450) |
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(5.451) |
oder betragsmässig
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(5.452) |
Die Komponente parallel zum Boden (also in der -Richtung ist
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(5.453) |
Wenn die Relativgeschwindigkeit ist, gilt in
,
,
,
für die Corioliskraft:
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(5.454) |
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Das Foucault-Pendel ist an einem Punkt mit der Erde verbunden.
projiziert auf
, dies entspricht der Drehgeschwindigkeit gegen
,
,
also
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(5.455) |
Rotationsperiode
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(5.456) |
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Erde und Mond
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Schwerpunkt des Systems Erde-Mond:
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||
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||
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||
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(5.457) |
Erde und Mond drehen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt.
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Bezogen auf den Erdmittelpunkt herrscht die Gravitationskraft
Weiter ist die Geschwindigkeit des Punktes bezogen auf die Geschwindigkeit
des Schwerpunktes
gegeben
durch
Punkt ![]() |
Punkt ![]() |
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Feldvektor der Gravitation des Mondes ![]() |
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Zentrifugalbeschleunigung ![]() |
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![]() ![]() |
Summe der Beschleunigungen ![]() |
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in gibt es die Zentrifugalbeschleunigung
Zwischen und
sowie
gibt es die Differenz der Beschleunigungen
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(5.458) |
Vergleich mit
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(5.459) |
Anwendung Schwerkraft in einem Raumschiff
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Schwerkraft in einem Raumschiff
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Nur im Schwerpunkt ist die Zentrifugalkraft gleich der Gravitationskraft
in ist die Gravitation zu gross
in ist die Gravitation zu klein
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Schwerkraft in einem Raumschiff in radialer Richtung
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Im Raumschiff ist die Gravitationskraft nicht Null.
Othmar Marti