2.5  Bilderzeugung mit sphärischen Spiegel

Bei einem gekrümmten Spiegel wird der Gegenstand P in das Bild P′ abgebildet. C ist der Krümmungsmittelpunkt des Spiegels, deshalb sind die Winkel Θ der einfallenden und reflektierten Strahlen zu dieser Linie gleich. Es gilt (Aussenwinkel)

(2.1)

und (auch Aussenwinkel)

(2.2)

Wir eliminieren Θ

(2.3)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈ h∕g, β = s∕r ≈ h∕r und γ ≈ h∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite, r der Krümmungsradius des Spiegels und h der Abstand der Strahlen von der optischen Achse ist. Eingesetzt:

(2.4)

Wenn der Gegenstand im unendlichen ist, g = ∞ ist b = r∕2. Wir nennen diese Weite die

Brennweite (2.5)

Die Abbildungsgleichung, die nicht nur für sphärische Spiegel gilt, sondern auch für Linsen, ist also

(2.6) Abbildungsgleichung eines sphärischen Spiegels

Der obige Spiegel ist ein Konkavspiegel (französisch: la cave: Keller (mit einem Kellergewölbe)). Bei einem Konvexspiegel gilt die Abbildungsgleichung auch, die Brennweite ist aber negativ.

Strahlen, die die paraxiale Näherung verletzen, werden nicht auf einen Punkt fokussiert. Sie bilden eine Kaustik, das Bild eines Punktes ist ausgedehnt. Dieser Abbildungsfehler, der allen sphärischen abbildenden Geräten eigen ist, heisst sphärische Aberration.

2.5.1  Konvexspiegel

Die Berechnung der Abbildungsgleichung ist analog zu der eines Konkavspiegels. Für die Winkel können die folgenden Relationen aufgeschrieben werden:

(2.7)

sowie

(2.8)

Wir eliminieren Θ und erhalten

(2.9)

Für kleine Winkel gilt wieder αs∕g ≈ h∕g, β = s∕r ≈ h∕r und γ ≈ h∕b. Eingesetzt bekommen wir

(2.10)

Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung (2.4) so sehen wir, dass formal die gleiche Abbildungsgleichung gilt, wenn wir die Bildweite und die Brennweite negativ wählen.

Wir halten fest:

2.5.2  Bildkonstruktion beim Hohlspiegel

	Versuch zur Vorlesung:
	Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Die Bildkonstruktion bei einem Hohlspiegel verläuft nach den folgenden Regeln:

• Jeder achsparallele Strahl verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt (oder seine Verlängerung nach rückwärts geht durch den Brennpunkt).
• Jeder Strahl durch den Brennpunkt wird zu einem achsparallelen Strahl (oder jeder Strahl, dessen Verlängerung durch den Brennpunkt ginge, wird nach der Reflexion zu einem achsparallelen Strahl).
• Jeder radiale Strahl verläuft durch den Krümmungsmittelpunkt eines Spiegels und wird in sich selber zurück abgebildet.
• Jeder Strahl, der auf den Scheitelpunkt des Spiegels (da wo die optische Achse auf den Spiegel trifft) gerichtet ist, wird unter dem gleichen Winkel zur optischen Achse reflektiert.

Die Abbildung zeigt, wie nach den obigen Regeln, ein Bild konstruiert wird. Dass die Strahlen sich nicht in einem Punkt kreuzen, liegt daran, dass wir keine paraxialen Strahlen haben.

Der Abbildungsmassstab wird berechnet, indem wir den Strahl auf den Scheitel analysieren. Aus dem Strahlensatz ergibt sich

(2.11)

wobei G die Höhe des Gegenstandes und B die Höhe des Bildes ist.

Für paraxiale Strahlen kann die Konstruktion vereinfacht werden, indem man die gekrümmte Fläche durch eine Tangentialebene am Scheitel des Spiegels ersetzt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die durch die sphärische Aberration ungenau gewordene Abbildung wieder genau wird. Die neu eingeführte Ebene nennt man Hauptebene.

Bei einem konvexen Spiegel existiert ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel. Die Abbildung zeigt die Bildkonstruktion.